Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點(diǎn)D，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)．
（1）求證：DE與⊙O相切；
（2）當(dāng)以點(diǎn)O、D、E、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，⊙O的半徑為1，求△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,平行四邊形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）運(yùn)用垂徑定理、直角三角形的性質(zhì)證明∠ODE=90°即可解決問題；
（2）根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等的性質(zhì)和三角形的面積公式進(jìn)行解答．

解答：（1）證明：連接OD．
∵AC是直徑，
∴∠ADC=90°，
∴∠CDB=90°，
又∵EB=EC
∴DE為直角△DCB斜邊的中線，
∴DE=CE=

1

2

．
∴∠DCE=∠CDE，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∴∠ODC+∠CDE=∠OCD+∠DCE=∠ACB=90°，
∴∠ODE=90°
∴DE是⊙O的切線．

（2）∵四邊形OCED是平行四邊形，
∴OC=DE，
∴BC=2DE=2OC=2×1=2．AC=2OC=2，
∴S_△ABC=

1

2

BC•AC=

1

2

×2×2=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定與性質(zhì)、圓周角定理的推論、直角三形的性質(zhì)等幾何知識(shí)點(diǎn)的考查；該命題以圓為載體，以切線的判定為考查的核心構(gòu)造而成；對(duì)綜合的分析問題解決問題的能力提出了較高的要求．