Question

15．如圖，直線MN經(jīng)過線段AC的端點(diǎn)，過點(diǎn)A作直線MN∥BD，點(diǎn)B，D分別在∠NAC和∠MAC的角平分線AE，AF上，BD交AC于點(diǎn)O．
（1）求證：OB=OD；
（2）若AD=5，AB=12，求OA的長；
（3）當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動到什么位置時，四邊形ABCD是矩形？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠CAE=∠NAE，然后根據(jù)MN∥BD得到∠OBA=∠NAB，從而得到∠OAB=∠OBA，利用等邊對等角得到OA=OB，同理可得：OA=OD，進(jìn)而證得結(jié)論：OB=OD；
（2）首先得到∠DAB=90°，然后利用勾股定理求得BD的長，從而利用直角三角形的斜邊的中線等于斜邊的一半求得結(jié)論；
（3）由一對鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直得出∠FAE=90°，要想四邊形ABCD是矩形，只需證明四邊形ABCD是平行四邊形．

解答 解：（1）證明：∵AE平分∠CAN，
∴∠CAE=∠NAE，
∵M(jìn)N∥BD，
∴∠OBA=∠NAB，
∴∠OAB=∠OBA，
∴OA=OB，
同理可得：OA=OD，
∴OB=OD；

（2）∵∠CAE=∠NAE，∠MAD=∠OAD，
∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∵AD=5，AB=12，
∴BD=13，
∴OA=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{13}{2}$；

（3）O在AC的中點(diǎn)時，四邊形ABCD是矩形．
∵AO=CO，BO=DO，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
又∵∠FAC=$\frac{1}{2}$∠MAC，∠CAE=$\frac{1}{2}$∠CAN，
∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=$\frac{1}{2}$（∠MAC+∠CAN）=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∴平行四邊形ABCD是矩形．

點(diǎn)評 本題考查矩形的判定及勾股定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解：有一個角是直角的平行四邊形是矩形，難度不大．