Question

1．若兩個(gè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)、開口方向都相同，則稱這兩個(gè)二次函數(shù)為“同簇二次函數(shù)”．
（1）請(qǐng)寫出兩個(gè)頂點(diǎn)在y軸上“同簇二次函數(shù)”；
（2）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y₁=2x²-4mx+2m²+1和y₂=ax²+bx+4，其中y₁的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，1），若y₁+y₂與y₁為“同簇二次函數(shù)”，求函數(shù)y₂的表達(dá)式，并求出當(dāng)0≤x≤3時(shí)，y₂的最大值；
（3）二次函數(shù)y₁=2x²-4mx+2m²+1和y₂=ax²+bx+4的圖象與y軸分別交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，在拋物線y₁上取一點(diǎn)C，拋物線y₂上取一點(diǎn)D，若以點(diǎn)A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）依據(jù)“同簇二次函數(shù)”定義，隨便寫兩個(gè)即可；
（2）由y₁的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，1），找出m的值，再由y₁+y₂與y₁為“同簇二次函數(shù)”，找出a、b的值即可，再將函數(shù)y₂的表達(dá)式變?yōu)轫旤c(diǎn)式，即能找到何時(shí)取最大值；
（3）分兩種情況考慮：①線段AB為對(duì)角線，找到AB中點(diǎn)坐標(biāo)，利用平行四邊形對(duì)角線互相平分的性質(zhì)，設(shè)出C點(diǎn)坐標(biāo)，即可以得出D點(diǎn)坐標(biāo)，將D點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)y₂的表達(dá)式中，即可求得出結(jié)論；②線段AB為一條邊，此時(shí)還分兩種情況，一種點(diǎn)C在D的上方，一種點(diǎn)C在D的下方，由平行四邊形對(duì)比平行且相等即可求出結(jié)論．

解答 解：（1）根據(jù)“同簇二次函數(shù)”的定義可知，
y=x²+2與y=3x²+2是“同簇二次函數(shù)”．
（2）∵點(diǎn)A（1，1）在二次函數(shù)y₁=2x²-4mx+2m²+1的圖象上，
∴有1=2-4m+2m²+1，解得m=1．
∴y₁=2x²-4x+3=2（x-1）²+1．
即二次函數(shù)y₁=2x²-4x+3開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）．
y₁+y₂=（2+a）x²+（b-4）x+7=（2+a）${（x+\frac{b-4}{4+2a}）}^{2}$+7-$\frac{（b-4）^{2}}{4（2+a）}$．
∵y₁+y₂與y₁為“同簇二次函數(shù)”，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{2+a＞0}\\{-\frac{b-4}{4+2a}=1}\\{7-\frac{（b-4）^{2}}{4（2+a）}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=-8}\end{array}\right.$．
∴y₂=4x²-8x+4．
∵y₂=4x²-8x+4=4（x-1）²，
∵在0≤x≤3中，當(dāng)x=3時(shí)，y₂=4（3-1）²=16，
∴當(dāng)x=3時(shí)，y₂有最大值，最大值等于16．
（3）以點(diǎn)A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形分兩種情況：
①以AB為對(duì)角線，令四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)為M，如圖1．

∵二次函數(shù)y₁=2x²-4x+3和y₂=4x²+8x+4的圖象與y軸分別交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，
∴點(diǎn)A（0，3），點(diǎn)B（0，4）．
設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（m，2m²-4m+3），
∵四邊形ADBC為平行四邊形，
∴對(duì)角線互相平分，
∴點(diǎn)M（0，$\frac{7}{2}$），點(diǎn)D（-m，4-2m²+4m）．
又∵點(diǎn)D在二次函數(shù)y₂=4x²-8x+4圖象上，
∴有4-2m²+4m=4m²+8m+4，即6m²+4m=0，
解得：m=-$\frac{2}{3}$或m=0（舍去）．
此時(shí)C點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{2}{3}$，$\frac{59}{9}$）；
②當(dāng)AB為邊的時(shí)候，如圖2．

當(dāng)C在點(diǎn)D的下方時(shí)，設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（m，2m²-4m+3），則D點(diǎn)坐標(biāo)為（m，2m²-4m+4）．
又∵點(diǎn)D在二次函數(shù)y₂=4x²-8x+4圖象上，
∴有2m²-4m+4=4m²-8m+4，即2m²-4m=0，
解得：m=2，或m=0（舍去）．
此時(shí)C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3）；
當(dāng)C在點(diǎn)D的上方時(shí)，設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（m，2m²-4m+3），則D點(diǎn)坐標(biāo)為（m，2m²-4m+2）．
又∵點(diǎn)D在二次函數(shù)y₂=4x²-8x+4圖象上，
∴有2m²-4m+2=4m²-8m+4，即2m²-4m+2=0，
解得：m=1．
此時(shí)C點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，1）．
綜上得：若以點(diǎn)A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則C點(diǎn)的坐標(biāo)為（-$\frac{2}{3}$，$\frac{59}{9}$），（2，3）和（1，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是：（1）讀懂題意，弄明白什么是“同簇二次函數(shù)”；（2）寫出y₁+y₂與y₁的頂點(diǎn)式；（3）設(shè)出C點(diǎn)坐標(biāo)（m，2m²-4m+3），分兩種情況考慮，找出關(guān)于m的二元一次方程，解方程即可．