Question

2．定義：圖象開口方向相同，且都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)的所有二次函數(shù)稱為共點(diǎn)二次函數(shù)系，比如函數(shù)y=2x²+bx+c，當(dāng)b+c=1時(shí)，它們的圖象都經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（1，3），且開口都向上，稱所有二次函數(shù)y=2x²+bx+c為共點(diǎn)（1，3）開口向上的二次函數(shù)系．
（1）已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c（c≠0）與y=x²-2x+n是共點(diǎn)二次函數(shù)，當(dāng)a+b+c=1時(shí)，求n的值；
（2）已知函數(shù)y=x²+bx+c圖象過(guò)定點(diǎn)（-2，1），且開口向上的共點(diǎn)二次函數(shù)系，試求該二次函數(shù)系的最小值能夠達(dá)到的最大結(jié)果．

Answer 1

分析 （1）由當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)值為y=a+b+c=1，得出共點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），代入y=x²-2x+n即可求得n；
（2）把（-2，1）代入y=x²+bx+c求得c=2b-3，根據(jù)最小值的公式得出最小值=-$\frac{1}{4}$（b-4）²+1≤1，即可求得最小值能夠達(dá)到的最大結(jié)果．

解答 解（1）二次函數(shù)y=ax²+bx+c（c≠0）當(dāng)x=1時(shí)y=a+b+c，
∵a+b+c=1，
∴共點(diǎn)為（1，1），
代入y=x²-2x+n得，1=1-2+n，解得n=2；
（2）把（-2，1）代入y=x²+bx+c得，1=4-2b+c，
則c=2b-3，
二次函數(shù)的最小值為$\frac{4ac-^{2}}{4a}$=$\frac{4（2b-3）-^{2}}{4}$=-$\frac{1}{4}$b²+2b-3=-$\frac{1}{4}$（b-4）²+1≤1，
故該二次函數(shù)系的最小值能夠達(dá)到的最大結(jié)果是1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握函數(shù)的頂點(diǎn)公式是解題的關(guān)鍵．