Question

18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為2的菱形ABCD中B與原點(diǎn)重合，BC在x軸正半軸上，A在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$上，若菱形繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到AD′與AC重合時(shí)，AB′恰好與x軸垂直（D′、B′分別是D、B的對應(yīng)點(diǎn)）
（1）求反比例函數(shù)解析式．
（2）求CC′的長度（C′為C的對應(yīng)點(diǎn)）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)菱形與旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠B′AB=∠D′AD=∠BAC=30°，再解Rt△B′AB，得出BB′=$\frac{1}{2}$AB=1，AB′=$\sqrt{3}$BB′=$\sqrt{3}$，那么A（-1，$\sqrt{3}$），將A點(diǎn)坐標(biāo)代入y=$\frac{k}{x}$，即可求出反比例函數(shù)解析式．
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出D′坐標(biāo)，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出C′坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算即可．

解答 解：（1）∵邊長為2的菱形ABCD中B與原點(diǎn)重合，BC在x軸正半軸上，
∴AB=BC=2，∠BAC=∠CAD，AD∥BC，
∵菱形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到AD′與AC重合時(shí)，AB′恰好與x軸垂直（D′、B′分別是D、B的對應(yīng)點(diǎn)），
∴∠B′AB=∠D′AD，∠B′AD=90°，
∴∠B′AB=∠D′AD=∠BAC=30°．
在Rt△B′AB中，∵∠B′AB=30°，
∴BB′=$\frac{1}{2}$AB=1，AB′=$\sqrt{3}$BB′=$\sqrt{3}$，
∴A（-1，$\sqrt{3}$），
∵A在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$上，
∴k=-1×$\sqrt{3}$=-$\sqrt{3}$，
∴反比例函數(shù)解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{x}$；

（2）∵A（-1，$\sqrt{3}$），C（2，0），
∴AC中點(diǎn)D′坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
由題意知，C′D′∥AB′，C′D′=AB′=$\sqrt{3}$，
∴C′（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴CC′=$\sqrt{（2-\frac{1}{2}）^{2}+（0+\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，菱形與旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式，兩點(diǎn)間的距離公式．有一定難度．