Question

2．如圖，在菱形ABCD中，AB=6，∠DAB=60°，AE分別交BC、BD于點E、F，CE=2，連接CF，以下結(jié)論：①△ABF≌△CBF；②點E到AB的距離是2$\sqrt{3}$；③tan∠DCF=$\frac{3\sqrt{3}}{7}$；④△ABF的面積為12$\sqrt{3}$，其中一定成立的是①②③（把所有正確結(jié)論的序號都填在橫線上）①②③．

Answer 1

分析 利用SAS證明△ABF與△CBF全等，得出①正確，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出點E到AB的距離是2$\sqrt{3}$，得出②正確，同時得出；△ABF的面積為$\frac{18\sqrt{3}}{5}$；得出④錯誤，得出tan∠DCF=$\frac{3\sqrt{3}}{7}$，得出③正確．

解答 解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=6，
∵∠DAB=60°，
∴AB=AD=DB，∠ABD=∠DBC=60°，
在△ABF與△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABF=∠FBC}\\{BF=BF}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴①正確；
過點E作EG⊥AB，過點F作MH⊥CD，MH⊥AB，如圖：

∵CE=2，BC=6，∠ABC=120°，
∴BE=6-2=4，
∵EG⊥AB，
∴EG=2$\sqrt{3}$，
∴點E到AB的距離是2$\sqrt{3}$，
故②正確；
∵BE=4，EC=2，
∴S_△BFE：S_△FEC=4：2=2：1，
∴S_△ABF：S_△FBE=3：2，
∴△ABF的面積為=$\frac{3}{5}$S_△ABE=$\frac{3}{5}$×$\frac{1}{2}$×6×2$\sqrt{3}$=$\frac{18\sqrt{3}}{5}$，
故④錯誤；
∵S_△ADB=$\frac{1}{2}$×6×3$\sqrt{3}$=9$\sqrt{3}$，
∴S_△DFC=S_△ADB-S_△ABF=9$\sqrt{3}$-$\frac{18\sqrt{3}}{5}$=$\frac{27\sqrt{3}}{5}$，
∵S_△DFC=$\frac{1}{2}$×6×MF，
∴FM=$\frac{9\sqrt{3}}{5}$，
∴DM=$\frac{MF}{\sqrt{3}}$，
∴CM=DC-DM=6-$\frac{9}{5}$，
∴tan∠DCF=$\frac{MF}{CM}$=$\frac{3\sqrt{3}}{7}$，
故③正確；
故答案為：①②③

點評 此題考查了四邊形綜合題，關(guān)鍵是根據(jù)菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)分析．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．