Question

求證：不論a是什么實(shí)數(shù)，二次函數(shù)y=x²+ax+a-2的圖象都與x軸相交于兩個不同的點(diǎn)，并且求這兩點(diǎn)間距離最小時的二次函數(shù)的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)

專題：

分析：根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，求出△的值，若為正數(shù)，則此函數(shù)圖象與x軸總有兩個交點(diǎn)；再根據(jù)根據(jù)二次函數(shù)圖象與x軸的兩個交點(diǎn)的距離公式解答即可．

解答：證明：（1）∵△=a²-4（a-2）=（a-2）²+4，
又∵=（a-2）²≥0，
∴（a-2）²+4＞0，
∴不論a為何實(shí)數(shù)，此函數(shù)圖象與x軸總有兩個交點(diǎn)；
（2）設(shè)x₁、x₂是y=x²+ax+a-2=0的兩個根，則x₁+x₂=-a，x₁•x₂=a-2，因兩交點(diǎn)的距離是w，
則w=|x1-x2|=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂
=（-a）²-4（a-2）=（a-2）²+4，
當(dāng)這兩點(diǎn)間距離最小時則a=2，
∴二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=x²+2x．

點(diǎn)評：本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，熟悉二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系和坐標(biāo)軸上兩點(diǎn)距離公式|x₁-x₂|，并熟練運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．