Question

20．如圖，矩形OCBD的頂點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)A在對(duì)角線OB上，且OA=$\sqrt{5}$，tan∠BOC=$\frac{1}{2}$．反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，交BC、BD于點(diǎn)M、N，CM=$\frac{2}{3}$，連接OM、ON、MN．
（1）求反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的解析式及點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)P在x軸上，且△OPN的面積與四邊形BMON的面積相等，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）作AE⊥x軸于點(diǎn)E，由點(diǎn)的坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)求得點(diǎn)A（2，1），代入反比例函數(shù)解析式求得該雙曲線方程；由點(diǎn)M的坐標(biāo)易得點(diǎn)B的坐標(biāo)，再由此設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（n，$\frac{3}{2}$），代入y=$\frac{2}{x}$求得n的值即可；
（2）S_{四邊形BMON}=S_矩形OCBD-S_△OCM-S_△OND=$\frac{5}{2}$．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（p，0），由“△OPN的面積與四邊形BMON的面積相等”可得S_△OPN=$\frac{1}{2}$×|p|×$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{2}$，由此求得p的值即可．

解答 解：（1）作AE⊥x軸于點(diǎn)E，
由OA=$\sqrt{5}$，tan∠BOC=$\frac{1}{2}$可得AE=1，OE=2．
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，1），
∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{2}{x}$．
由y=$\frac{2}{x}$，CM=$\frac{2}{3}$，
可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，$\frac{2}{3}$）．則OC=3．
又由tan∠BOC=$\frac{1}{2}$，
∴BC=$\frac{3}{2}$，
∴B（3，$\frac{3}{2}$）．
設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（n，$\frac{3}{2}$），代入y=$\frac{2}{x}$，得n=$\frac{4}{3}$，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（$\frac{4}{3}$，$\frac{3}{2}$）；

（2）S_{四邊形BMON}=S_矩形OCBD-S_△OCM-S_△OND
=3×$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$×$3×\frac{2}{3}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×$\frac{4}{3}$=$\frac{5}{2}$．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（p，0），
由S_△OPN=$\frac{1}{2}$×|p|×$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{2}$，得p=$±\frac{10}{3}$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{10}{3}$，0）或（-$\frac{10}{3}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)綜合題，涉及到了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，矩形的面積公式，三角形的面積公式，銳角三角函數(shù)的定義以及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識(shí)點(diǎn)，綜合性比較強(qiáng)，但是難度不是很大．