Question

已知：△ABC的兩邊AB、AC的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程x²－(2k+1)x+k(k+1)=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,第三邊BC的長(zhǎng)為5.

(1)k為何值時(shí),△ABC是以BC為斜邊的直角三角形?

(2)k為何值時(shí),△ABC是等腰三角形?并求△ABC的周長(zhǎng).

Answer 1

解：(1)∵x²－(2k+1)x+k(k+1)=0,

∴(x－k)·［x－(k+1)］=0,

∴x₁=k,x₂=k+1.

由勾股定理，得k²+(k+1)²=5²,解得k₁=3,k₂=－4(舍去).

∴當(dāng)k=3時(shí),△ABC是以BC為斜邊的直角三角形.

(2)當(dāng)△ABC是等腰三角形時(shí),有三種情況:

①AB=AC,而在一元二次方程中,由于b²－4ac=［－(2k+1)］²－4k(k+1)=1,即AB≠AC.因此此種情況不存在;

②AB=BC或AC=BC.此時(shí)x=5是已知方程的一個(gè)根，所以5²－5(2k+1)+k(k+1)=0,解得k₁=4,k₂=5.

當(dāng)k₁=4時(shí),方程的兩個(gè)根為x₁=k=4,x₂=k+1=5,此時(shí)等腰三角形的三邊長(zhǎng)為4,5,5,可以構(gòu)成三角形,

∴此時(shí)等腰三角形的周長(zhǎng)為4+5+5=14;

當(dāng)k=5時(shí),方程的兩個(gè)根為x₁=k=5,x₂=k+1=6,此時(shí)等腰三角形的三邊長(zhǎng)為5,5,6,可以構(gòu)成三角形,

∴此時(shí)等腰三角形的周長(zhǎng)為6+5+5=16.