Question

如圖，拋物線y＝ax²＋bx－4與x軸交于A(4，0)、B(－2，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)(端點(diǎn)除外)，過點(diǎn)P作PD∥AC，交BC于點(diǎn)D，連接CP．
(1)求該拋物線的解析式；
(2)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，BP²＝BD·BC；
(3)當(dāng)△PCD的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

解：(1)由題意，得，解得，
∴拋物線的解析式為y＝－x－4；
(2)設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(x，0)時(shí)，有BP²＝BD·BC，
令x＝0時(shí)，則y＝－4，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，－4)．
∵PD∥AC，∴△BPD∽△BAC，
∴．
∵BC＝，
AB＝6，BP＝x－(－2)＝x＋2．
∴BD＝＝＝．
∵BP²＝BDBC，
∴(x＋2)²
解得x₁＝，x₂＝－2(－2不合題意，舍去)，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是(，0)，
即當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到(，0)時(shí)，BP²＝BD·BC；
(3)∵△BPD∽△BAC，∴，
∴×S_△BPC
＝×(x＋2)×4－
∵，
∴當(dāng)x＝1時(shí)，S_△BPC有最大值為3．即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，0)時(shí)，△PDC的面積最大．