Question

7．閱讀材料：用配方法求最值．
已知x，y為非負(fù)實數(shù)，
∵x+y-2$\sqrt{xy}={（\sqrt{x}）^2}+{（\sqrt{y}）^2}-2\sqrt{x}•\sqrt{y}={（\sqrt{x}-\sqrt{y}）^2}$≥0
∴x+y≥2$\sqrt{xy}$，當(dāng)且僅當(dāng)“x=y”時，等號成立．
示例：當(dāng)x＞0時，求y=x+$\frac{1}{x}$+4的最小值．
解：$y=（x+\frac{1}{x}）+4≥2\sqrt{x•\frac{1}{x}}$+4=6，當(dāng)x=$\frac{1}{x}$，即x=1時，y的最小值為6．
（1）嘗試：當(dāng)x＞0時，求y=$\frac{{{x^2}+x+1}}{x}$的最小值．
（2）問題解決：隨著人們生活水平的快速提高，小轎車已成為越來越多家庭的交通工具，假設(shè)某種小轎車的購車費用為10萬元，每年應(yīng)繳保險費等各類費用共計0.4萬元，n年的保養(yǎng)、維護(hù)費用總和為$\frac{{{n^2}+n}}{10}$萬元．問這種小轎車使用多少年報廢最合算（即：使用多少年的年平均費用最少，年平均費用=$\frac{所有費用之和}{年數(shù)n}$）？最少年平均費用為多少萬元？

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)y=$\frac{{{x^2}+x+1}}{x}$，可得y=x+$\frac{1}{x}$+1，然后求出當(dāng)x＞0時，y=$\frac{{{x^2}+x+1}}{x}$的最小值是多少即可．
（2）首先根據(jù)題意，求出年平均費用=（$\frac{{{n^2}+n}}{10}$+0.4n+10）÷n=$\frac{n}{10}+\frac{10}{n}+\frac{1}{2}$，然后應(yīng)用配方法，求出這種小轎車使用多少年報廢最合算，以及最少年平均費用為多少萬元即可．

解答 解：（1）y=$\frac{{{x^2}+x+1}}{x}$=x+$\frac{1}{x}$+1$≥2\sqrt{x•\frac{1}{x}}$+1=3，
∴當(dāng)x=$\frac{1}{x}$，即x=1時，y的最小值為3．

（2）年平均費用=（$\frac{{{n^2}+n}}{10}$+0.4n+10）÷n=$\frac{n}{10}+\frac{10}{n}+\frac{1}{2}$$≥2\sqrt{\frac{n}{10}×\frac{10}{n}}+\frac{1}{2}$=2+0.5=2.5，
∴當(dāng)$\frac{n}{10}=\frac{10}{n}$，
即n=10時，最少年平均費用為2.5萬元．

點評 此題主要考查了配方法的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確配方法的關(guān)鍵是：先將一元二次方程的二次項系數(shù)化為1，然后在方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．