Question

5．已知拋物線y=ax²+x+c（a≠0）經(jīng)過(guò)A（-1，0），B（2，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，該拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)M，對(duì)稱軸與直線BC相交于點(diǎn)N，與x軸相交于點(diǎn)D．
（1）求該拋物線的解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）求△BOC與△BDN的面積比；
（3）點(diǎn)E是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限，當(dāng)點(diǎn)E到直線BC的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法即可解決問題．
（2）說(shuō)清楚C、D、N三點(diǎn)坐標(biāo)，利用三角形的面積公式即可解決問題．
（3）設(shè)E（m，-m²+m+2），作EG∥OC交BC于G，EF⊥BC于F，則△EFG是等腰直角三角形，求出EG的長(zhǎng)，列出方程即可解決問題．

解答 解：（1）把A（-1，0），B（2，0）兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax²+x+c得到$\left\{\begin{array}{l}{a-1+c=0}\\{4a+2+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-x²+x+2．
頂點(diǎn)M（$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{4}$）．

（2）∵B（2，0），C（0，2），
∴直線BC的解析式為y=-x+2，
∴D（$\frac{1}{2}$，0），N（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∴S_△BOC：S_△BDN=$\frac{1}{2}$×2×2：$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×$\frac{3}{2}$=16：9．

（3）設(shè)E（m，-m²+m+2），作EG∥OC交BC于G，EF⊥BC于F，則△EFG是等腰直角三角形，
∵EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴EG=1，
∵G（m，-m+2），
∴-m²+m+2-（-m+2）=1，
∴m²-2m+1=0，
∴m=1，
∴E（1，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查待定系數(shù)法．拋物線由x軸的交點(diǎn)，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，學(xué)會(huì)利用方程解決問題，屬于中考常考題型．