Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E．
（1）求∠EBC的度數(shù)；
（2）求證：BD=CD．

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理,全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠ABC=∠C，再利用三角形內(nèi)角和計(jì)算出∠C=

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（180°-∠BAC）=67.5°，接著根據(jù)圓周角定理得∠AEB=90°，然后利用三角形外角性質(zhì)求∠EBC的度數(shù)；
（2）連結(jié)AD，如圖，根據(jù)圓周角定理得∠ADB=90°，則AD⊥BC，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到BD=CD．

解答：（1）解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠C=

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（180°-∠BAC）=

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（180°-45°）=67.5°，
∵AB為直徑，
∴∠AEB=90°，
∵∠AEB=∠EBC+∠C，
∴∠EBC=90°-67.5°=22.5°；
（2）證明：連結(jié)AD，如圖，
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．