Question

9．如圖，平面直角坐標(biāo)系中O（0，0）、A（x₁，y₁）、B（0，4）、C（x₂，y₂）順次連接組成一長(zhǎng)方形．
（1）若點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，求點(diǎn)A、C坐標(biāo)；
（2）若A、C縱坐標(biāo)滿足y₁=3y₂，求點(diǎn)A、C坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）如圖1，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得：OB是AC的中垂線，得正方形ABCO，再由點(diǎn)B的坐標(biāo)可知：AC和BD的長(zhǎng)，由正方形的對(duì)角線互相平分得出A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）如圖2，作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△ABE≌△COF，由y₁=3y₂，可知OE=3BE=3OF，根據(jù)OB=4可以計(jì)算出BE、OF的長(zhǎng)，再證明△AOH∽△OCG，列比例式$\frac{OH}{CG}=\frac{AH}{OG}$，求出OH的長(zhǎng)，即點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，最后根據(jù)象限特點(diǎn)寫(xiě)出坐標(biāo)．

解答 解：（1）如圖1，連接AC，交OB于D，
∵點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，
∴OB是AC的中垂線，
∴AC⊥OB，
∴長(zhǎng)方形ABCO是正方形，
∴AC=BO，BD=OD，
∵B（0，4），
∴OB=4，OD=2，
∴AC=4，
∴AD=CD=2，
∴A（2，2），B（-2，2）；
（2）如圖2，分別過(guò)A、C作y軸的垂線，垂足分別為E、F，
則∠AEB=∠CFO=90°，
∵四邊形ABCO是長(zhǎng)方形，
∴AB∥OC，AB=OC，
∴∠ABE=∠COF，
∴△ABE≌△COF，
∴BE=OF，AE=CF，
∵A（x₁，y₁）、C（x₂，y₂），且y₁=3y₂，
∴OE=3OF，
∴OE=3BE，
∵B（0，4），
∴OB=4，
∴OE=3，OF=1，
分別過(guò)A、C作x軸的垂線，垂足分別為G、H，則AH=OE=3，CG=OF=1，
∵四邊形ABCO是長(zhǎng)方形，
∴∠AOC=90°，
∴∠AOH+∠COG=90°，
∵∠OAH+∠AOH=90°，
∴∠OAH=∠COG，
∵∠CGO=∠AHO=90°，
∴△AOH∽△OCG，
∴$\frac{OH}{CG}=\frac{AH}{OG}$，
∵OH=OG=AE，
∴OH²=3×1=3，
∴OH=±$\sqrt{3}$，
∴A（$\sqrt{3}$，3）、C（-$\sqrt{3}$，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形、正方形及關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，同時(shí)還考查了全等三角形、相似三角形的性質(zhì)和判定；做好本題要熟知：①矩形的對(duì)邊相等且平行，每個(gè)角都是直角，②同角的余角相等，③對(duì)稱(chēng)軸是對(duì)稱(chēng)點(diǎn)連線的垂直平分線；要注意寫(xiě)坐標(biāo)時(shí)第二象限的橫坐標(biāo)為負(fù)數(shù)．