Question

11．如圖，在⊙O中．AB是直徑，點D是⊙O上-點．點C是$\widehat{AD}$的中點，CE⊥AB于點E，在EC的延長線上有一點G，使GP=GD．連接AD，分別交CE、CB于點P、Q，連接AC，且AC=6，BC=8．
（1）求證：GD是⊙O的切線；
（2）求線段AQ的長．

Answer 1

分析 （1）連接OD，利用等腰三角形的性質，可得出∠GPD=∠GDP，∠OAD=∠ODA，進一步證得∠APF+∠OAD=∠GDP+∠ODA=90°，即OD⊥GD，即可證得GD是⊙O的切線；
（2）證得△ACQ∽△BCA，根據相似三角形的性質即可求得．

解答 解：（1）連接OD，
∵GP=GD，
∴∠GPD=∠GDP，
∴∠APF=∠GDP，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠APF+∠OAD=∠GDP+∠ODA，
∵CE⊥AB于點E，
∴∠APF+∠OAD=90°，
∴∠GDP+∠ODA=90°，
即∠ODG=90°，
∴OD⊥GD，
∴GD是⊙O的切線；
（2）∵C點C是$\widehat{AD}$的中點，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$，
∴∠ABC=∠DBC，
∵∠CAD=∠DBC，
∴∠CAD=∠ABC，
∵∠ACQ=∠BCA，
∴△ACQ∽△BCA，
∴$\frac{AQ}{AB}$=$\frac{AC}{BC}$，
∵AB為圓O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴$\frac{AQ}{10}$=$\frac{6}{8}$，
∴AQ=$\frac{15}{2}$．

點評 本題考查了切線的判定，圓周角定理，相似三角形的判定與性質，熟練掌握性質及定理是解決本題的關鍵．