Question

9．將正方形ABCD放置在如圖所示的直角坐標(biāo)系中，點B的坐標(biāo)為（8，0），點P在邊AB的中點．連結(jié)CP，將△BCP沿PC折疊，使點B落在y軸的M點處，且點M的縱坐標(biāo)為4．若點Q是x軸正半軸上一個運(yùn)動的點，連結(jié)MQ、CQ，則△CMQ周長的最小值為10+2$\sqrt{65}$．

Answer 1

分析 作點M關(guān)于x軸的對稱點M′，連接CM′與x軸的交點即為點Q，此時△CMQ周長最小，先在RT△OMP中利用勾股定理求出OP，正方形邊長，然后在RT△CNM′利用勾股定理求出CM′即可解決問題．

解答 解：作點M關(guān)于x軸的對稱點M′，連接CM′與x軸的交點即為點Q，此時△CMQ周長最小，
設(shè)OP=x，則PB=PM=8-x，
在RT△OPM中，PM²=OM²+OP²，
∴（8-x）²=4²+x²，
∴x=3，
∴PM=PB=5，AB=2PB=BC=10，
設(shè)CD與y軸交于點N，
在RT△CNM′中，∠CNM′=90°，CN=8，NM′=14，
∴CM′=$\sqrt{C{N}^{2}+NM{′}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+1{4}^{2}}$=2$\sqrt{65}$，
∴△CMQ的周長=CM+CQ+MQ=CM+CQ+QM′=CM+CM′=10+2$\sqrt{65}$．

點評 本題考查正方形的性質(zhì)、軸對稱-最短問題、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是利用勾股定理求出正方形的邊長，學(xué)會利用軸對稱解決最短問題，屬于中考常考題型．