Question

(2005濰坊)如圖，AD是ΔABC的角平分線，延長AD交于ΔABC的外接圓O于點E，過C、D、E三點的圓與AC的延長線交于點F，連結(jié)EF、DF．

(1)求證：△AEF∽ΔFED；

(2)若AD=6，DE=3，求EF的長；

(3)若DF∥BE，試判斷ΔABE的形狀，并說明理由．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)證明：如圖，連結(jié)CE，在圖中，∠EFD=∠DCE，在圓O中，∠BAE=∠DCE，所以∠EFD=∠BAE，又因為AE是∠BAC的角平分線，得∠BAE=∠CAE，所以∠CAE=∠EFD，因為∠AEF=∠FED，所以ΔAEF∽ΔFED． (2)解：因為ΔAEF∽ΔFED，所以，所以． (3)證明：ΔABE為等腰三角形．理由：根據(jù)同弧上的圓周角相等，得到：∠ABC=∠AEC，∠CBE=∠CAE，所以∠ABE=∠AEC＋∠CAE，因為∠AEC＋∠CAE＋∠ACE=180°，所以∠ABE＋∠ACE=180°．又∠FCE＋∠ACE=180°，所以∠FCE=∠ABE．因為DF∥BE，∠FDE=∠AEB，又因為∠FCE=∠FDE，所以∠AEB=∠ABE，所以ΔABE為等腰三角形．