Question

2．如圖，△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，且DA=DC，過A，B，D三點(diǎn)作⊙O，AE是⊙O的直徑，連接DE．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若sinC=$\frac{4}{5}$，AC=12，求⊙O的直徑．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，由AB=AC，AD=DC得∠C=∠B，∠1=∠C，則∠1=∠B，根據(jù)圓周角定理得∠E=∠B，∠ADE=90°，所以∠1+∠EAD=90°，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到AC是⊙O的切線；
（2）過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F，如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得CF=$\frac{1}{2}$AC=3，在Rt△CDF中，利用正弦定義得sinC=$\frac{DF}{DC}$=$\frac{4}{5}$，則設(shè)DF=4x，DC=5x，利用勾股定理得CF=3x，所以3x=3，解得x=1，于是得到DC=AD=5，然后證明△ADE∽△DFC，再利用相似比可計(jì)算AE即可．

解答 （1）證明：∵AB=AC，AD=DC，
∴∠C=∠B，∠1=∠C，
∴∠1=∠B，
又∵∠E=∠B，
∴∠1=∠E，
∵AE是⊙O的直徑，
∴∠ADE=90°，
∴∠E+∠EAD=90°，
∴∠1+∠EAD=90°，即∠EAC=90°，
∴AE⊥AC，
∴AC是⊙O的切線；

（2）解：過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F，如圖，
∵DA=DC，
∴CF=$\frac{1}{2}$AC=6，
在Rt△CDF中，∵sinC=$\frac{DF}{DC}$=$\frac{4}{5}$，
設(shè)DF=4x，DC=5x，
∴CF=$\sqrt{C{D}^{2}-D{F}^{2}}$=3x，
∴3x=6，解得x=2，
∴DC=10，
∴AD=10，
∵∠ADE=∠DFC=90°，∠E=∠C，
∴△ADE∽△DFC，
∴$\frac{AE}{DC}$=$\frac{AD}{DF}$，即$\frac{AE}{10}=\frac{10}{8}$=$\frac{5}{4}$，解得AE=$\frac{25}{2}$，
即⊙O的直徑為$\frac{25}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)．