Question

5．如圖，在7×7網格中，每個小正方形的邊長都為1．
（1）建立適當的平面直角坐標系，使點A（3，4）、C（4，2），則點B的坐標為（0，0）；
（2）求圖中格點△ABC的面積；
（3）判斷格點△ABC的形狀，并說明理由．
（4）在x軸上有一點P，使得PA+PC最小，則PA+PC的最小值是$\sqrt{17}$．

Answer 1

分析 （1）首先根據A和C的坐標確定坐標軸的位置，然后確定B的坐標；
（2）利用矩形的面積減去三個直角三角形的面積求解；
（3）利用勾股定理的逆定理即可作出判斷；
（4）作點C關于x軸的對稱點C′連接AC′交x軸與點P，連接PC，依據軸對稱圖形的性質可得到PC=PC′，然后依據兩點之間線段最短可知當點A，P，C′在一條直線上時，AP+PC有最小值．

解答 解：（1）B的坐標是（0，0）．
故答案是（0，0）；
（2）S_△ABC=4×4-$\frac{1}{2}$×4×2-$\frac{1}{2}$×3×4-$\frac{1}{2}$×1×2=5，
（3）∵AC²=2²+12=5，BC²=2²+4²=20，AB²=4²+3²=25，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形．
（4）如圖1所示：作點C關于x軸的對稱點C′連接AC′交x軸與點P，連接PC．

∵點C與點C′關于x軸對稱，
∴PC=PC′．
∴AP+PC=AP+PC．
∴當A，P，C′在一條直線上時，AP+PC有最小值，最小值為AC′的長．
∵AC′=$\sqrt{{4}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{17}$．
∴AP+PC的最小值為$\sqrt{17}$．
故答案為：$\sqrt{17}$．

點評 本題主要考查的是軸對稱路徑最短問題、勾股定理的應用，勾股定理的逆定理的應用，明確點A，P，C′在一條直線上時，AP+PC有最小值是解題的關鍵．