Question

10．已知：如圖，四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AB=AC=AD，∠DAC=∠ABC．
（1）求證：BD平分∠ABC；
（2）若∠DAC=45°，OA=1，求OC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義證明；
（2）過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BC于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到OE=OA，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．

解答 （1）證明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠DAC=∠ABC，
∴∠DAC=∠ACB．
∴AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD．
又∵AB=AD，
∴∠ADB=∠ABD．
∴∠ABD=∠CBD．
∴BD平分∠ABC；

（2）解：過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BC于E，
∵∠DAC=45°，∠DAC=∠ABC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠B AC=90°，
∵BD平分∠ABC，
∴OE=OA=1．
在Rt△OEC中，∠ACB=45°，OE=1，
∴OC=$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．