Question

如圖①，有兩個形狀完全相同的直角三角形ABC和EFG疊放在一起（點(diǎn)A與點(diǎn)E重合），已知AC=8cm，BC=6cm，∠C=90°，EG=4cm，∠EGF=90°，O是△EFG斜邊上的中點(diǎn)．如圖②，若整個△EFG從圖①的位置出發(fā)，以1cm/s 的速度沿射線AB方向平移，在△EFG 平移的同時，點(diǎn)P從△EFG的頂點(diǎn)G出發(fā)，以1cm/s 的速度在直角邊GF上向點(diǎn)F運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)F時，點(diǎn)P停止運(yùn)動，△EFG也隨之停止平移，設(shè)運(yùn)動時間為x（s），F(xiàn)G的延長線交AC于H，四邊形OAHP的面積為y（cm²）（不考慮點(diǎn)P與G、F重合的情況）。
（1）當(dāng)x為何值時，OP∥AC？
（2）求y與x 之間的函數(shù)關(guān)系式，并確定自變量x的取值范圍；
（3）是否存在某一時刻，使四邊形OAHP面積與△ABC面積的比為13∶24？若存在，求出x的值；若不存在，說明理由。
（參考數(shù)據(jù)：114² =12996，115²=13225，116² =13456 或4.4²=19.36，4.5²=20.25，4.6²=21.16）

Answer 1

解：（1）∵Rt△EFG∽Rt△ABC ，
∴， 
∴FG==3cm，
∵當(dāng)P為FG的中點(diǎn)時，OP∥EG ，EG∥AC ，
∴OP∥AC，
∴ x =×3=1.5（s），
∴當(dāng)x為1.5s時，OP∥AC；
（2）在Rt△EFG 中，由勾股定理得：EF =5cm，
∵EG∥AH，
∴△EFG∽△AFH，
∴，
∴，
∴AH=（x +5），F(xiàn)H=（x+5），
過點(diǎn)O作OD⊥FP，垂足為D，
∵點(diǎn)O為EF中點(diǎn)，
∴OD=EG=2cm，
∵FP=3-x，
∴S_{四邊形OAHP} =S_△AFH-S_△OFP
=·AH·FH-·OD·FP
=·（x+5）·（x+5）-×2×（3-x ）
=x²+x+3 （0＜x＜3）
（3）假設(shè)存在某一時刻x，使得四邊形OAHP面積與△ABC面積的比為13∶24，
則S_{四邊形OAHP}=×S_△ABC
∴x²+x+3=××6×8，
∴6x²+85x-250=0，
解得x₁=，x₂=-（舍去），
∵0＜x＜3，
∴當(dāng)x=（s）時，四邊形OAHP面積與△ABC面積的比為13∶24。