Question

【題目】（本題滿分分）已知在平面直角坐標系中，點是拋物線上的一個動點，點的坐標為.

(1)．如圖1，直線過點且平行于軸,過點作,垂足為,連接，猜想與的大小關系： ______ (填寫“＞”“＜”或“=” ）,并證明你的猜想．

(2)．請利用(1)的結論解決下列問題：

①．如圖2,設點的坐標為, 連接,問是否存在最小值?如果存在,請說明理由,并求出點的坐標；如果不存在,請說明理由.

②．若過動點和點的直線交拋物線于另一點,且,求直線的解析式(圖3為備用圖).

Answer 1

【答案】（1）=；理由見解析；（2）①存在P點坐標為（2，﹣3）；②y=x﹣1或y=﹣x﹣1．

【解析】試題分析：（1）利用二次函數圖象上點的坐標特征，設P（m，﹣m2﹣2），則B（m，﹣1），然后根據兩點間的距離公式計算出PA和PB，從而可判斷它們相等；

（2）①過點Q作QB∥x軸，過P點作PB⊥QB于B點，如圖2，由（1）得PB=PA，根據兩點之間線段最短，當點P、B、C共線時，此時P點的橫坐標為2，然后計算對應的函數值即可得到P點坐標；

②過點Q（0，﹣1）作直線l平行于x軸，作PB⊥l于B，DE⊥l于E，如圖3，由（1）得PB=PA，DE=DA，再證明△QDE∽△QPB，利用相似比得到==，設P（m，﹣m2﹣2），則B（m，﹣1），PB=m2+1，易得E點坐標為（m，﹣1），D點坐標為[m，﹣（m）2﹣2]，則ED=m2+1，然后根據DE和PB的數量關系列方程m2+1=4（m2+1），解方程求出m，從而得到P點坐標，最后利用待定系數法求直線PQ的解析式．

解：（1）PA與PB相等．

理由如下：設P（m，﹣m2﹣2），則B（m，﹣1），

∵PA===m2+1，

PB=﹣1﹣（﹣m2﹣2）=m2+1，

∴PA=PB．

故答案為=；

（2）①存在．

過點Q作QB∥x軸，過P點作PB⊥QB于B點，如圖2，由（1）得PB=PA，則PA+PC=PB+PC，

當點P、B、C共線時，PB+PC最小，此時PC⊥QB，P點的橫坐標為2，

當x=2時，y=﹣x2﹣2=﹣×4﹣2=﹣3，

即此時P點坐標為（2，﹣3）；

②過點Q（0，﹣1）作直線l平行于x軸，作PB⊥l于B，DE⊥l于E，如圖3，由（1）得PB=PA，DE=DA，

∵PA=4AD，

∴PB=4DE，

∵DE∥PB，

∴△QDE∽△QPB，

∴==，

設P（m，﹣m2﹣2），則B（m，﹣1），PB=m2+1，

∴E點坐標為（m，﹣1），D點坐標為[m，﹣（m）2﹣2]，

∴ED=﹣1+（m）2+2=m2+1，

∴m2+1=4（m2+1），解得m1=4，m2=﹣4，

∴P點坐標為（4，﹣6）或（﹣4，﹣6），

當P點坐標為（4，﹣6）時，直線PQ的解析式為y=﹣x﹣1，

當P點坐標為（﹣4，﹣6）時，直線PQ的解析式為y=x﹣1，

即直線PQ的解析式為y=x﹣1或y=﹣x﹣1．