Question

（2012•鄂爾多斯）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，且OA=

3

，OC=1．矩形OABC繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)60°后得到矩形DFBE．點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，且點(diǎn)D恰好在y軸上，二次函數(shù)y=ax²+bx+2的圖象過(guò)E、B兩點(diǎn)．
（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)B和點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）求二次函數(shù)的解析式；
（3）在x軸上方是否存在點(diǎn)P，點(diǎn)Q，使以點(diǎn)O、A、P、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形的面積是矩形OABC面積的2倍，且點(diǎn)P在拋物線上？若存在，求出點(diǎn)P，點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)OA=

3

，OC=1，可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)函數(shù)解析式可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）過(guò)點(diǎn)E作EM⊥于BC點(diǎn)M，根據(jù)旋轉(zhuǎn)角度可得出∠EBM=60°，結(jié)合BE=

3

，可得出點(diǎn)E的坐標(biāo)，將點(diǎn)E和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入可得出二次函數(shù)解析式；
（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，-

4

3

x²+

3

x+2），然后根據(jù)平行四邊形OAPQ的面積是矩形OABC面積的2倍，可得出x的值，繼而可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵OA=

3

，OC=1，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（

3

，1），
根據(jù)二次函數(shù)解析式為y=ax²+bx+2，可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2）；
綜上可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（

3

，1），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2）．

（2）過(guò)點(diǎn)E作EM⊥于BC點(diǎn)M，

∵∠EBM=60°，BE=

3

，
∴BM=

3

2

，EM=

3

2

，
∴CM=BC-BM=

3

-

3

2

=

3

2

，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（

3

2

，

5

2

），
將點(diǎn)E及點(diǎn)B的坐標(biāo)代入可得：

3a+ 3 b+2=1 3 4 a+ 3 2 b+2= 5 2

，
解得：

a=- 4 3 b= 3

，
故函數(shù)解析式為y=-

4

3

x²+

3

x+2；

（3）存在．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，-

4

3

x²+

3

x+2），
∵平行四邊形OAPQ的面積是矩形OABC面積的2倍，
∴

3

×（-

4

3

x²+

3

x+2）=2

3

，
解得：x₁=

3

4

3

，x₂=0，
當(dāng)x=0時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，2），此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（

3

，2）或（-

3

，2）；
當(dāng)x=

3

4

3

時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

3

4

3

，2），此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（

7

4

3

，2）或（-

3

4

，2）；

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、旋轉(zhuǎn)角度、解直角三角形及平行四邊形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)容，仔細(xì)理解題意，將所學(xué)的知識(shí)融會(huì)貫通，難度較大．