Question

12．如圖，在△ABC中，點O是邊AC上一個動點，過點O作直線EF∥BC分別交∠ACB、外角∠ACD的平分線于點E、F．
（1）若CE=8，CF=6，求OC的長；
（2）連接AE、AF．問：當(dāng)點O在邊AC上運動到什么位置時，四邊形AECF是矩形？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)得出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，證出OE=OC=OF，∠ECF=90°，由勾股定理求出EF，即可得出答案；
（2）根據(jù)平行四邊形的判定以及矩形的判定得出即可．

解答 （1）證明：∵EF交∠ACB的平分線于點E，交∠ACB的外角平分線于點F，
∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠DCF，
∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠DCF，
∴∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，
∴OE=OC，OF=OC，
∴OE=OF；
∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF=180°，
∴∠ECF=90°，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF=$\sqrt{C{E}^{2}+C{F}^{2}}$=10，
∴OC=OE=$\frac{1}{2}$EF=5；
（2）解：當(dāng)點O在邊AC上運動到AC中點時，四邊形AECF是矩形．理由如下：
連接AE、AF，如圖所示：
當(dāng)O為AC的中點時，AO=CO，
∵EO=FO，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵∠ECF=90°，
∴平行四邊形AECF是矩形．

點評 此題主要考查了矩形的判定、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定、勾股定理、平行四邊形的判定和直角三角形的判定等知識，根據(jù)已知得出∠ECF=90°是解題關(guān)鍵．