Question

如圖，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，OB=2，AB=1，把△OAB沿OB折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)C處．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過O、B、C的拋物線的解析式；
（3）若點(diǎn)M是（2）中的拋物線上位于點(diǎn)C右側(cè)的一動(dòng)點(diǎn)，連接MC和MO，且MO與AC相交于點(diǎn)N．是否存在這樣的點(diǎn)M，使△CMN與△OAN相似？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）過C作CM⊥Y軸于M，CN⊥X軸于N，根據(jù)∠OAB=90°，OB=2，AB=1，求出∠AOB，根據(jù)勾股定理求出OA，根據(jù)折疊求出OC=OA和∠COM，進(jìn)一步求出CM和CN的長即可；
（2）因?yàn)閽佄锞�過原點(diǎn)，即c=0，設(shè)經(jīng)過O、B、C的拋物線的解析式是y=ax²+bx，把B、C的坐標(biāo)代入得到方程組，求出方程組的解即可得到解析式；
（3）①當(dāng)∠CMO=∠MOA時(shí)，△CMN與△OAN相似，此時(shí)CM∥OA，得到M的縱坐標(biāo)和C的縱坐標(biāo)相等，是，把y=代入拋物線的解析式求出x的值即可求出M的坐標(biāo)；當(dāng)∠CMO=∠CAO時(shí)，△CMN與△OAN相似，通過已知得到此時(shí)M和B重合，能根據(jù)B的坐標(biāo)得出M的坐標(biāo)．
解答：解：（1）過C作CM⊥Y軸于M，CN⊥X軸于N，
∵∠OAB=90°，OB=2，AB=1，
∴∠AOB=30°，
根據(jù)勾股定理得：OA=，
∵把△OAB沿OB折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)C處，
∴∠COB=∠AOB=30°，OC=OA=，
∴∠COM=90°-30°-30°=30°，
∴CM=，
根據(jù)勾股定理得：OM=，
∴C的坐標(biāo)是（，），
答：C的坐標(biāo)是（，）．

（2）∵∠OAB=90°，OB=2，AB=1，
∴A（，0），B（，1），
∵拋物線過原點(diǎn)，即c=0，
∴設(shè)經(jīng)過O、B、C的拋物線的解析式是y=ax²+bx，
把C（，），B（，1）代入得：，
解得：，
∴y=x²+x，
答：經(jīng)過O、B、C的拋物線的解析式是y=x²+x．

（3）存在，
①當(dāng)∠CMO=∠MOA時(shí)，△CMN與△OAN相似，
∵∠CMO=∠MOA，
∴CM∥OA，
此時(shí)M的縱坐標(biāo)和C的縱坐標(biāo)相等，是，
把y=代入經(jīng)過O、B、C的拋物線的解析式是y=x²+x，得：
=x²+x，
解得：x₁=，x₂=，
∴M（，），
②當(dāng)∠CMO=∠CAO時(shí)，△CMN與△OAN相似，
∵∠COA=30°+30°=60°，OC=OA=，
∴△OAC是等邊三角形，
∴∠CAO=60°，
即：∠CMO=60°，
∴此時(shí)M和B重合，
∴M的坐標(biāo)是（，1），
綜合上述：M的坐標(biāo)是（，1）或（，），
答：存在這樣的點(diǎn)M，使△CMN與△OAN相似，所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)是（，1）或（，）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，含30°的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，題型較好，綜合性強(qiáng)，用的數(shù)學(xué)思想是分類討論思想．