Question

9．如圖，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，與CD相交于點F，H是BC邊的中點，連接DH與BE相交于點G，下列結(jié)論正確的有（　　）個．
①BF=AC；②AE=$\frac{1}{2}$BF；③∠A=67.5°；④△DGF是等腰三角形；⑤S_{四邊形ADGE}=S_{四邊形GHCE}．

• A． 5個
• B． 2個
• C． 4個
• D． 3個

Answer 1

分析 只要證明△BDF≌△CDA，△BAC是等腰三角形，∠DGF=∠DFG=67.5°，即可判斷①②③④正確，作GM⊥BD于M，只要證明GH＜DG即可判斷⑤錯誤．

解答 解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDC=∠ADC=∠AEB=90°，
∴∠A+∠ABE=90°，∠ABE+∠DFB=90°，
∴∠A=∠DFB，
∵∠ABC=45°，∠BDC=90°，
∴∠DCB=90°-45°=45°=∠DBC，
∴BD=DC，
在△BDF和△CDA中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDF=∠CDA}\\{∠A=∠DFB}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△CDA（AAS），
∴BF=AC，故①正確．
∵∠ABE=∠EBC=22.5°，BE⊥AC，
∴∠A=∠BCA=67.5°，故③正確，
∴BA=BC，
∵BE⊥AC，
∴AE=EC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BF，故②正確，
∵BE平分∠ABC，∠ABC=45°，
∴∠ABE=∠CBE=22.5°，
∵∠BDF=∠BHG=90°，
∴∠BGH=∠BFD=67.5°，
∴∠DGF=∠DFG=67.5°，
∴DG=DF，故④正確．
作GM⊥AB于M．
∵∠GBM=∠GBH，GH⊥BC，
∴GH=GM＜DG，
∴S_△DGB＞S_△GHB，
∵S_△ABE=S_△BCE，
∴S_{四邊形ADGE}＜S_{四邊形GHCE}．故⑤錯誤，
∴①②③④正確，
故選C．

點評 此題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積等知識點的綜合運用，第五個問題難度比較大，添加輔助線是解題關(guān)鍵，屬于中考選擇題中的壓軸題．