Question

2．（1）填空：（a-b）（a+b）=a²-b²，（a-b）（a²+ab+b²）=a³-b³，
（a-b）（a³+a²b+ab²+b³）=a⁴-b⁴．
（2）猜想：（a-b）（a^n-1+a^n-2b+…+ab^n-2+b^n-1）=aⁿ-bⁿ（其中n為正整數(shù)，且n≥1）；
（3）利用（2）猜想的結(jié)論計(jì)算：
2⁹+2⁸+2⁷+…+2³+2²+2．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平方差公式與多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則運(yùn)算即可；
（2）根據(jù)（1）的規(guī)律可得結(jié)果；
（3）原式變形后，利用（2）得出的規(guī)律計(jì)算即可得到結(jié)果．

解答 解：（1）（a-b）（a+b）=a²-b²；
（a-b）（a²+ab+b²）=a³+a²b+ab²-a²b-ab²-b³=a³-b³；
（a-b）（a³+a²b+ab²+b³）=a⁴+a³b+a²b²+ab³-a³b-a²b²-ab³-b⁴=a⁴-b⁴；

（2）由（1）的規(guī)律可得：（a-b）（a^n-1+a^n-2b+…+ab^n-2+b^n-1）=aⁿ-bⁿ，

（3）2^9₊2⁸+2^7₊…+2³+2²+2
=（2-1）•（2^9₊2⁸+2^7₊…+2³+2²+2）
=2¹⁰+2^9₊2⁸+2^7₊…+2³+2²-（2^9₊2⁸+2^7₊…+2³+2²+2）
=2¹⁰-2
=1024-2
=1022．
故答案為：a²-b²，a³-b³，a⁴-b⁴；aⁿ-bⁿ．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了數(shù)字的變化規(guī)律和多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，弄清題中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．