Question

5．如圖，⊙O為Rt△ABC的內(nèi)切圓，⊙O的半徑r=1，∠B=30°，
（1）劣弧DE的長(zhǎng)．
（2）證明：AD=AE．
（3）求：劣弧DE、切線AD、AE所圍成的面積S．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)切線的性質(zhì)得出OD⊥AC，OE⊥AB，根據(jù)四邊形內(nèi)角和求得∠DOE=120°，代入公式求得即可；
（2）證得RT△AOD≌RT△AOE即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)S=S_{四邊形ADOE}-S_扇形ODE求得即可．

解答 解：（1）連接OD、OE，則OD⊥A，COE⊥AB
∵∠B=30°∠C=90°
∴∠A=60°
∴∠DOE=120°
劣弧DE的長(zhǎng)=$\frac{120×1•π}{180}$=$\frac{2π}{3}$；
（2）連接OA，
在RT△AOD和RT△AOE中
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OE}\\{OA=OA}\end{array}\right.$
∴RT△AOD≌RT△AOE（HL），
∴AD=AE
（3）∵RT△AOD≌RT△AOE，
∴∠OAB=∠OAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，
∴AE=$\sqrt{3}$OE=$\sqrt{3}$，
∴四邊形ADOE的面積=2×$\frac{1}{2}$AE•OE=$\sqrt{3}$，
∵S_扇形ODE=$\frac{120π×{1}^{2}}{360}$=$\frac{1}{3}$π
∴S=S_{四邊形ADOE}-S_扇形ODE=$\sqrt{3}$-$\frac{π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了內(nèi)切圓的性質(zhì)，弧長(zhǎng)和扇形的面積，三角形求得的判定和性質(zhì)以及四邊形的內(nèi)角和等，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵