Question

若兩個實數a，b，使得，a²+b與a+b²都是有理數，稱數對（a，b）是和諧的．
①試找出一對無理數，使得（a，b）是和諧的；
②證明：若（a，b）是和諧的，且a+b是不等于1的有理數，則a，b都是有理數；
③證明：若（a，b）是和諧的，且

a

b

是有理數，則a，b都是有理數；

Answer 1

分析：①假設a=

2

+

1

2

，b=

1

2

-

2

，再求出a²+b與a+b²的值，在進行判斷即可；
②根據題意可知t=（a²+b）-（a+b²）=（a-b）（a+b-1）是有理數，a+b=s是有理數，進而可用s表示出a，根據a是有理數即可判斷出b也是有理數；
③由于a、b的值不能確定，故可分a+b²=0和a+b²≠0兩種情況進行判斷．

解答：解：①假設a=

2

+

1

2

，b=

1

2

-

2

，則a²+b=（

2

+

1

2

）²+

1

2

-

2

=

11

4

是有理數，
a+b²=

2

+

1

2

+（

1

2

-

2

）²=

11

4

是有理數，
故（a，b）=（

2

+

1

2

，

1

2

-

2

）是和諧的；
②由已知t=（a²+b）-（a+b²）=（a-b）（a+b-1）是有理數，a+b=s是有理數，
因此a-b=

t

a+b-1

，解得a=

1

2

（s+

t

s-1

）是有理數，
當然b=s-a也是有理數；
③若a+b²=0，則b=-

a

b

是有理數，因此a=（a+b²）-b²也是有理數．
若a+b²≠0，由已知x=

a2+b

a+b2

=

( a b )2+ 1 b

a b • 1 b +1

是有理數，y=

a

b

也是有理數，
因此

1

b

=

y2-x

xy-1

，故b=

xy-1

y2-x

是有理數，
因此a=（a+b²）-b²也是有理數．

點評：本題考查的是無理數及有理數的概念及運算，熟知無理數及有理數的概念是解答此題的關鍵．