Question

2．如圖，在△ABC，AB=AC=2，△ABC=30°，點P、Q分別在邊AB、AC上，將△APQ沿PQ翻折，點A落到點A′處，則線段BA′長度的最小值是2$\sqrt{3}$-2．

Answer 1

分析 首先求得BC的長度，然后由兩點之間線段最短可知：當(dāng)點B、Q、C、A′在同一條直線上時，BA′的長度最小，然后根據(jù)BA′=BC-A′C求解即可．

解答 解：如圖所示過點A作AD⊥BC于點D．

∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$×120°=60°，BD=DC．
∴sin∠BAD=$\frac{BD}{AB}$，即$\frac{BD}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴BD=$\sqrt{3}$．
∴BC=2$\sqrt{3}$．
由翻折的性質(zhì)可知：A′Q=AQ
∵AQ+NQ=AC=2，
∴A′Q+QC=2．
要求BA′的最小值，只需BA′+A′Q+QC有最小值，由兩點之間線段最短可知：當(dāng)點B、Q、C、A′在同一條直線上時，BA′的長度最小．
如圖所示：

由翻折的性質(zhì)可知：A′C=AC．
∴BA′=BC-A′C=2$\sqrt{3}$-2．
故答案是：2$\sqrt{3}$-2．

點評 本題主要考查的是翻折的性質(zhì)、特殊度數(shù)的銳角三角函數(shù)值、線段的性質(zhì)的應(yīng)用，明確當(dāng)點B、Q、C、A′在同一條直線上時，BA′的長度最小是解題的關(guān)鍵．