Question

6．拋物線y₁=-2x²+2與y₂=-（x-3）²+4在x軸上方（含與x軸的交點）的部分分別記作C₁，C₂，若直線y=$\frac{3}{5}$x+m與C₁，C₂共有至少3個不同的交點，則m的取值范圍是-$\frac{3}{5}$≤m≤$\frac{409}{200}$．

Answer 1

分析 根據(jù)已知條件得到拋物線y₁=-2x²+2與x軸交于（-1，0），（1，0），頂點坐標（0，2），拋物線y₂=-（x-3）²+4與x軸交于（1，0），（5，0），頂點坐標（3，4），于是若直線y=$\frac{3}{5}$x+m與y₁相切時，求得m=$\frac{409}{200}$，若直線y=$\frac{3}{5}$x+m過（1，0）時，求得m=-$\frac{3}{5}$，于是得到結論．

解答 解：如圖，∵拋物線y₁=-2x²+2與x軸交于（-1，0），（1，0），頂點坐標（0，2），
拋物線y₂=-（x-3）²+4與x軸交于（1，0），（5，0），頂點坐標（3，4），
∴若直線y=$\frac{3}{5}$x+m與y₁相切時，-2x²+2=$\frac{3}{5}$x+m，
∴△=（$\frac{3}{5}$）²-4×（-2）×（m-2）=0，
∴m=$\frac{409}{200}$，若直線y=$\frac{3}{5}$x+m過（1，0）時，m=-$\frac{3}{5}$，
∴若直線y=$\frac{3}{5}$x+m與C₁，C₂共有至少3個不同的交點，則m的取值范圍是-$\frac{3}{5}$≤m≤$\frac{409}{200}$，
故答案為：-$\frac{3}{5}$≤m≤$\frac{409}{200}$．

點評 本題主要考查二次函數(shù)與x軸的交點，解答本題的關鍵是正確地畫出圖形，利用數(shù)形結合進行解題，此題有一定的難度．