Question

【題目】[閱讀理解]

構(gòu)造“平行八字型”全等三角形模型是證明線段相等的一種方法，我們常用這種方法證明線段的中點(diǎn)問題．

例如：如圖，D是△ABC邊AB上一點(diǎn)，E是AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作CF∥AB，交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則易證E是線段DF的中點(diǎn)．

[經(jīng)驗(yàn)運(yùn)用]

請(qǐng)運(yùn)用上述閱讀材料中所積累的經(jīng)驗(yàn)和方法解決下列問題．

（1）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上，且滿足AE＝CF，連接EF交AC于點(diǎn)G．

求證：①G是EF的中點(diǎn)；

②CG＝BE；

[拓展延伸]

（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB＝2BC，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上，且滿足AE＝2CF，連接EF交AC于點(diǎn)G．探究BE和CG之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）如圖3，若點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在線段BC上，DF交AC于點(diǎn)H，BF＝2，CF＝1，（ 2）中的其它條件不變，請(qǐng)直接寫出GH的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）①詳見解析；②詳見解析；（2）BE＝CG，理由詳見解析；（3）．

【解析】

（1）①過點(diǎn)E作EI∥BC交AC于點(diǎn)I，證明△EIG≌△FCG（ASA），得出EG＝FG即可；

②由等腰直角三角形的性質(zhì)得出 AI＝AE，由平行線得出＝＝，證出IC＝BE，由全等三角形的性質(zhì)得出IG＝CG＝IC，即可得出結(jié)論；

（2）作EI∥BC 交AC于點(diǎn)I，由三角函數(shù)證出AE＝2IE，得出IE＝CF，證△EIG≌△FCG（ASA），得出EG＝FG，IG＝CG，設(shè)IE＝a，則AE＝2a，求出＝，則＝＝，得出IC＝EB，即可得出結(jié)果；

（3）作FP∥AB交AC于P，則FP∥CD，∠CFP＝∠ABC＝90°，∠CPF＝∠CAB，則tan∠CPF＝＝tan∠CAB＝＝，求出AE＝PF＝2，BC＝3，CD＝AB＝2BC＝6，AC＝3，證明△CPF∽△CAB，得出＝＝，求出PC＝AC＝，PA＝2，AG＝PG＝，再證明△PFH∽△CDH，得出＝＝，得出PH＝PC＝，即可得出結(jié)果．

（1）證明：①過點(diǎn)E作EI∥BC交AC于點(diǎn)I，如圖1所示：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠AEI＝∠ABC＝90°，

∴∠BAC＝45°，

∴∠AIE＝∠BAC＝45°，

∴AE＝EI，

∵AE＝CF，

∴CF＝EI，

∵EI∥BC，

∴∠EIG＝∠FCG，∠IEG＝∠CFG，

在△EIG和△FCG中，

，

∴△EIG≌△FCG（ASA），

∴EG＝FG，

∴G是EF的中點(diǎn)；

②在Rt△AEI中，∠AEI＝90°，AE＝EI，

∴△AEI是等腰直角三角形，

∴AI＝AE，

∴＝，

∵EI∥BC，

∴＝＝，

∴IC＝BE，

∵△EIG≌△FCG，

∴IG＝CG＝IC，

∴CG＝×BE＝BE；

（2）解：BE和CG之間的數(shù)量關(guān)系為：BE＝CG；理由如下：

過點(diǎn)E作EI∥BC 交AC于點(diǎn)I，如圖2所示：

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠AEI＝∠ABC＝90°，AB∥CD，AB＝CD，

在Rt△AEI和Rt△ABC中，∠ABC＝∠AEI＝90°，AB＝2BC，

∴tan∠IAE＝＝＝，

∴AE＝2IE，

∵AE＝2CF，

∴IE＝CF，

∵EI∥BC，

∴∠EIG＝∠FCG，∠IEG＝∠CFG，

在△EIG和△FCG中，，

∴△EIG≌△FCG（ASA），

∴EG＝FG，IG＝CG，

設(shè)IE＝a，則AE＝2a，

在Rt△AEI中，∠AEI＝90°，

∴AI＝＝＝a，cos∠IAE＝，

即＝＝，

∵EI∥BC，

∴＝＝，

∴IC＝EB，

∵IG＝CG＝IC，

∴CG＝BE，

∴BE＝CG；

（3）解：作FP∥AB交AC于P，如圖3所示：

則FP∥CD，∠CFP＝∠ABC＝90°，∠CPF＝∠CAB，

在Rt△CFP和Rt△ABC中，AB＝2BC，

∴tan∠CPF＝＝tan∠CAB＝＝，

∴PF＝2CF，

∵AE＝2CF，

∴AE＝PF＝2，

同（2）得：△AEG≌△PFG（AAS），

∴AG＝PG，

∵BF＝2，CF＝1，

∴BC＝3，CD＝AB＝2BC＝6，

∴AC＝＝＝3，

∵FP∥AB，

∴△CPF∽△CAB，

∴＝＝，

∴PC＝AC＝，PA＝AC﹣PC＝2，

∴AG＝PG＝PA＝，

∵FP∥CD，

∴△PFH∽△CDH，

∴＝＝＝，

∴PH＝PC＝，

∴GH＝PG+PH＝＝．