Question

10．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=6．
（I）如圖①，將線段CA繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，所得到與AB交于點(diǎn)M，則CM的長(zhǎng)=6；
（II）如圖②，點(diǎn)D是邊AC上一點(diǎn)D且AD=2$\sqrt{3}$，將線段AD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，得線段AD′，點(diǎn)F始終為BD′的中點(diǎn)，則將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)150度時(shí)，線段CF的長(zhǎng)最大，最大值為6+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)求解．
（2）取AB的中點(diǎn)E，連接EF、EC，EF是中位線，所以EF=$\frac{1}{2}$AD，因?yàn)镋C+EF≥CF，所以CF最大值=EC+EF=6+$\sqrt{3}$，

解答 解：（Ⅰ）如下圖①所示：

∵將線段CA繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，
∴△AMC 為等腰三角形，AM=MC
∵∠BAC=30°，
∴△MBC為等邊三角形，
∴AM=MB=CM
又∵BC=6，
∴AB=2BC=12，
∴CM=6
故答案為：6
（2）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=6，
∴AB=12，
取AB的中點(diǎn)E，連接EF、EC，EF是中位線，所以EF=$\frac{1}{2}$AD，
∵EC+EF≥CF，
CF最大值=EC+EF=6+$\sqrt{3}$，
即：當(dāng)將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 150度時(shí)，線段CF的長(zhǎng)最大，最大值為6+$\sqrt{3}$．
故答案為：150；6+$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及特殊三角形的性質(zhì)，并具有綜合應(yīng)用的能力．