Question

（2012•南湖區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標系中，點A、B分別在x軸和y軸的正半軸上，OA=2，
OB=4，P為線段AB的中點，反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象經(jīng)過P點，Q是該反比例函數(shù)圖象上異于點P的另一點，經(jīng)過點Q的直線交x軸于點C，交y軸于點D，且QC=QD．下列結(jié)論：①k=2；②S_△COD=4；③OP=OQ；④AD∥CB．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①根據(jù)點A、B分別在x軸和y軸的正半軸上，OA=2，OB=4，可得A點坐標（2，0）B點坐標（0，4），再根據(jù)P為線段AB的中點，可得P點坐標（1，2），根據(jù)反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象經(jīng)過P點，利用待定系數(shù)法可得K=2；
②根據(jù)Q是該反比例函數(shù)圖象上異于點P的另一點，設(shè)Q點（a，

2

a

），經(jīng)過點Q的直線交x軸于點C，交y軸于點D，且QC=QD，Q為CD的中點可得C、D點坐標，再根據(jù)三角形面積公式，可得S_△COD=

1

2

×2a×

4

a

=4；
③根據(jù)OP=OQ可得Q（2，1），即當點Q的坐標是（2，1）時，該結(jié)論才成立；
④根據(jù)兩直線中K相等B不相等兩直線平行，即k_ad=-

2

a

；k_cb=-

2

a

，kad=k cb，可得AD∥CB．

解答：解：①∵在平面直角坐標系中，點A、B分別在x軸和y軸的正半軸上，OA=2，OB=4，
∴A點坐標（2，0）B點坐標（0，4），
∵P為線段AB的中點，
∴P點坐標（1，2），
∵反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象經(jīng)過P點，
∴2=

k

1

，∴K=2，原說法正確，故①符合題意；
②由Q是該反比例函數(shù)圖象上異于點P的另一點，設(shè)Q點（a，

2

a

），
∵經(jīng)過點Q的直線交x軸于點C，交y軸于點D，且QC=QD，Q是CD的中點，
∴C（2a，0）D（0，

4

a

）
S_△COD⁼

1

2

×2a×

4

a

=4，原說法正確，故②符合題意；
③設(shè)Q點為（a，

2

a

），
由OP=OQ即

(0-1)2+(0-2)2

=

(0-a)2+(0- 2 a )2

，
解得a=±2或a=±1，
即Q（2，1），（-2，-1），（1，2），（-1，-2）
∵反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象位于第一象限，
∴Q（-2，-1），（-1，-2）不在反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上，
∵點Q異于點P（1，2），存在Q點（2，1）在反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上，
∴只有當點Q的坐標是（2，1）時，OP=PQ才成立，故③不符合題意；
④∵k_ad=-

2

a

；k_cb=-

2

a

，kad=k cb，
∴AD∥CB，原說法正確，故④符合題意．
故應(yīng)該選：C．

點評：本題考查了反比例函數(shù)圖象上的點滿足解析式，以解析式為坐標的點在反比例函數(shù)的圖象上，待定系數(shù)法求解析式，直線解析式中k相等b不相等時，兩直線平行．要注意認真分析每一結(jié)論，得出正確答案．