Question

如圖甲，在中，為銳角，點(diǎn)為射線(xiàn)上一點(diǎn)，連接，以為一邊且在的右側(cè)作正方形．解答下列問(wèn)題：

（1）如果，，

①當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上時(shí)（與點(diǎn)不重合），如圖乙，線(xiàn)段之間的位置關(guān)系為    ，數(shù)量關(guān)系為           ．

②當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)時(shí)，如圖丙，①中的結(jié)論是否仍然成立，為什么？

（2）如果，，點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)．試探究：當(dāng)滿(mǎn)足一個(gè)什么條件時(shí)，（點(diǎn)重合除外）？畫(huà)出圖形，并說(shuō)明理由．（畫(huà)圖不寫(xiě)作法）.

 

Answer 1

【答案】

（1）①位置關(guān)系：互相垂直；數(shù)量關(guān)系：BD=CF；②成立；（2）∠ACB=45°

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)①的結(jié)論仍成立．由正方形ADEF的性質(zhì)可推出△DAB≌△FAC，所以CF=BD，∠ACF=∠ABD．結(jié)合∠BAC=90°，AB=AC，得到∠BCF=∠ACB+∠ACF=90度．即CF⊥BD．

（2）當(dāng)∠ACB=45°時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥AC交CB或CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，則∠GAC=90°，可推出∠ACB=∠AGC，所以AC=AG，由（1）①可知CF⊥BD．

（1）線(xiàn)段之間的位置關(guān)系：互相垂直；數(shù)量關(guān)系：BD=CF；

②∵∠FAD=∠BAC=90°

∴∠BAD=∠CAF

在△BAD與△CAF中，

∴△BAD≌△CAF（SAS）

∴CF=BD，∠ACF=∠ACB=45°，

∴∠BCF=90°

∴CF⊥BD ；

（2）當(dāng)∠ACB=45°時(shí)可得CF⊥BC，理由如下：

過(guò)點(diǎn)A作AC的垂線(xiàn)與CB所在直線(xiàn)交于G

則∵∠ACB=45°

∴AG=AC∠AGC=∠ACG=45°

∵AG=AC，AD=AF，

∵∠GAD=∠GAC-∠DAC=90°-∠DAC，∠FAC=∠FAD-∠DAC=90°-∠DAC，

∴∠GAD=∠FAC，

∴△GAD≌△CAF（SAS）

∴∠ACF=∠AGD=45°

∴∠GCF=∠GCA+∠ACF=90°

∴CF⊥BC.

考點(diǎn)：三角形全等的判定和直角三角形的判定

點(diǎn)評(píng)：判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判定兩個(gè)三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．