Question

16．平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過(guò)（-1，m²+2m+1）、（0，m²+2m+2）兩點(diǎn)，其中m為常數(shù)．
（1）求b的值，并用含m的代數(shù)式表示c；
（2）若拋物線y=x²+bx+c與x軸有公共點(diǎn)，求m的值；
（3）設(shè)（a，y₁）、（a+2，y₂）是拋物線y=x²+bx+c上的兩點(diǎn)，請(qǐng)比較y₂-y₁與0的大小，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由拋物線上兩點(diǎn)代入拋物線解析式中即可求出b和c；
（2）令y=0，拋物線和x軸有公共點(diǎn)，即△≥0，和非負(fù)數(shù)確定出m的值，
（3）將兩點(diǎn)代入拋物線解析式中，表示出y₁，y₂，求出y₂-y₁分情況討論即可

解答 解：（1）∵拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過(guò)（-1，m²+2m+1）、（0，m²+2m+2）兩點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c={m}^{2}+2m+1}\\{c={m}^{2}+2m+2}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c={m}^{2}+2m+2}\end{array}\right.$，
即：b=2，c=m²+2m+2，
（2）由（1）得y=x²+2x+m²+2m+2，
令y=0，得x²+2x+m²+2m+2=0，
∵拋物線與x軸有公共點(diǎn)，
∴△=4-4（m²+2m+2）≥0，
∴（m+1）²≤0，
∵（m+1）²≥0，
∴m+1=0，
∴m=-1；
（3）由（1）得，y=x²+2x+m²+2m+2，
∵（a，y₁）、（a+2，y₂）是拋物線的圖象上的兩點(diǎn)，
∴y₁=a²+2a+m²+2m+2，y₂=（a+2）²+2（a+2）+m²+2m+2，
∴y₂-y₁=[（a+2）²+2（a+2）+m²+2m+2]-[a²+2a+m²+2m+2]
=4（a+2）
當(dāng)a+2≥0，即a≥-2時(shí)，y₂-y₁≥0，
當(dāng)a+2＜0，即a＜-2時(shí)，y₂-y₁＜0．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，拋物線與x軸的交點(diǎn)，比較代數(shù)式的大小，解本題的關(guān)鍵是求出b，用m表示出拋物線解析式，難點(diǎn)是分類討論．