Question

17．已知關于x的一元二次方程k²x²+（1-2k）x+1=0有兩個不相等的實數根x₁，x₂．
（1）求k的取值范圍．
（2）當k為何值時，|x₁+x₂|-2x₁x₂=-24．

Answer 1

分析 （1）由方程有兩個不相等的實數根結合根的判別式即可得出關于k的不等式，解不等式即可求出k的值，再根據二次項系數非零，即可得出結論；
（2）由根與系數的關系可得出x₁+x₂=$\frac{2k-1}{{k}^{2}}$、x₁•x₂=$\frac{1}{{k}^{2}}$，結合|x₁+x₂|-2x₁x₂=-24即可得出關于k的含絕對值符號的分式方程，解方程即可得出k值．

解答 解：（1）∵方程有兩個不相等的實數根，
∴△=（1-2k）²-4k²=1-4k＞0，
解得：k＜$\frac{1}{4}$．
又∵k²≠0，
∴k的取值范圍是k＜$\frac{1}{4}$且k≠0．
（2）∵方程k²x²+（1-2k）x+1=0有兩個不相等的實數根x₁，x₂，
∴x₁+x₂=$\frac{2k-1}{{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{1}{{k}^{2}}$，
∵|x₁+x₂|-2x₁x₂=-24，
∴|$\frac{2k-1}{{k}^{2}}$|-2•$\frac{1}{{k}^{2}}$=-24，即$\frac{|2k-1|}{|{k}^{2}|}$-$\frac{2}{{k}^{2}}$=-24，
∴|2k-1|=-24k²+2，
①當2k-1≥0，即k≥$\frac{1}{2}$時，與（1）中求得的k＜$\frac{1}{4}$相矛盾，故舍去；
②當2k-1＜0，即k＜$\frac{1}{2}$時，有-（2k-1）=-24k²+2，
解得：k₁=$\frac{1}{4}$，k₂=-$\frac{1}{6}$，
∵k＜$\frac{1}{4}$，
∴k₁=$\frac{1}{4}$不合題意，故舍去．
經檢驗k₂=-$\frac{1}{6}$是方程$\frac{|2k-1|}{|{k}^{2}|}$-$\frac{2}{{k}^{2}}$=-24的解．
綜上，當k=-$\frac{1}{6}$時，|x₁+x₂|-2x₁x₂=-24．

點評 本題考查了根的判別式以及根與系數的關系，解題的關鍵是：（1）找出△=1-4k＞0；（2）分兩種情況考慮．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，根據根與系數的關系找出兩根之和與兩根之積是關鍵．