Question

16．如圖1，在直角坐標(biāo)系xoy中，直線l：y=kx+b交x軸，y軸于點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（2，2），過點(diǎn)B分別作x軸、y軸的垂線，垂足為A、C，點(diǎn)D是線段CO上的動(dòng)點(diǎn)，以BD為對(duì)稱軸，作與△BCD成軸對(duì)稱的△BC′D．
（1）當(dāng)∠CBD=15°時(shí)，求點(diǎn)C′的坐標(biāo)．
（2）當(dāng)圖1中的直線l經(jīng)過點(diǎn)A，且k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$時(shí)（如圖2），求點(diǎn)D由C到O的運(yùn)動(dòng)過程中，線段BC′掃過的圖形與△OAF重疊部分的面積．
（3）當(dāng)圖1中的直線l經(jīng)過點(diǎn)D，C′時(shí)（如圖3），以DE為對(duì)稱軸，作與△DOE成軸對(duì)稱的△DO′E，連結(jié)O′C，O′O，問是否存在點(diǎn)D，使得△DO′E與△CO′O相似？若存在，求出k、b的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用翻折變換的性質(zhì)得出∠CBD=∠C′BD=15°，C′B=CB=2，進(jìn)而得出CH的長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案；
（2）首先求出直線AF的解析式，進(jìn)而得出當(dāng)D與O重合時(shí)，點(diǎn)C′與A重合，且BC′掃過的圖形與△OAF重合部分是弓形，求出即可；
（3）根據(jù)題意得出△DO′E與△COO′相似，則△COO′必是Rt△，進(jìn)而得出Rt△BAE≌Rt△BC′E（HL），再利用勾股定理求出EO的長(zhǎng)進(jìn)而得出答案．

解答 解：（1）∵△CBD≌△C′BD，
∴∠CBD=∠C′BD=15°，C′B=CB=2，
∴∠CBC′=30°，
如圖1，作C′H⊥BC于H，則C′H=1，HB=$\sqrt{3}$，
∴CH=2-$\sqrt{3}$，
∴點(diǎn)C′的坐標(biāo)為：（2-$\sqrt{3}$，1）；

（2）如圖2，∵A（2，0），k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴代入直線AF的解析式為：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b，
∴b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
則直線AF的解析式為：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴∠OAF=30°，∠BAF=60°，故∠BAC′=60°，
∵在點(diǎn)D由C到O的運(yùn)動(dòng)過程中，BC′掃過的圖形是扇形，
∴當(dāng)D與O重合時(shí)，點(diǎn)C′與A重合，
且BC′掃過的圖形與△OAF重合部分是弓形
當(dāng)C′在直線y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$上時(shí)，BC′=BC=AB，∠BAC′=60°，
∴△ABC′是等邊三角形，這時(shí)∠ABC′=60°，
∴重疊部分的面積是：$\frac{60π×{2}^{2}}{360}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$×2²=$\frac{2}{3}$π-$\sqrt{3}$；

（3）如圖3，設(shè)OO′與DE交于點(diǎn)M，則O′M=OM，OO′⊥DE，
若△DO′E與△COO′相似，則△COO′必是Rt△，
在點(diǎn)D由C到O的運(yùn)動(dòng)過程中，△COO′中顯然只能∠CO′O=90°，
∴CO′∥DE，
∴CD=OD=1，
∴b=1，
連接BE，由軸對(duì)稱性可知C′D=CD，BC′=BC=BA，
∠BC′E=∠BCD=∠BAE=90°，
在Rt△BAE和Rt△BC′E中
∵$\left\{\begin{array}{l}{BE=BE}\\{AB=BC′}\end{array}\right.$，
∴Rt△BAE≌Rt△BC′E（HL），
∴AE=C′E，
∴DE=DC′+C′E=DC+AE，
設(shè)OE=x，則AE=2-x，
∴DE=DC+AE=3-x，
由勾股定理得：x²+1=（3-x）²，
解得：x=$\frac{4}{3}$，
∵D（0，1），E（$\frac{4}{3}$，0），
∴$\frac{4}{3}$k+1=0，
解得：k=-$\frac{3}{4}$，
∴存在點(diǎn)D，使△DO′E與△COO′相似，這時(shí)k=-$\frac{3}{4}$，b=1．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了相似形綜合以及全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識(shí)，正確得出AE=C′E是解題關(guān)鍵．