Question

13．如圖，A（0，6），B（-4，0），點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為C點(diǎn)，△ABD的面積是30．
（1）求點(diǎn)D坐標(biāo)．
（2）若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線BC運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位，設(shè)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，△APC的面積為S，求S與t的關(guān)系式．
（3）在（2）的條件下，同時(shí)點(diǎn)Q從D點(diǎn)出發(fā)沿y軸正方向以每秒2個(gè)單位速度勻速運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)R在過A點(diǎn)且平行于x軸的直線上，當(dāng)△PQR為等腰直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出滿足條件的t值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形面積公式求出AD即可．
（2）分兩種情形①當(dāng)0＜t≤8時(shí)，②當(dāng)t＞8時(shí)，求出△PAC面積即可．
（3）分三種情形①如圖1中，當(dāng)∠QPR=90°，PQ=PR時(shí)，作RH⊥OP于H，②如圖2中，當(dāng)∠PQR=90°，QR=PQ時(shí)，③如圖3中，當(dāng)∠QRP=90°，QR=PR，利用全等三角形的性質(zhì)列出方程即可解決．

解答 解：（1）∵A（0，6），B（-4，0），△ABD的面積是30，
∴$\frac{1}{2}$•AD•BO=30，
∴$\frac{1}{2}$•AD•4=30，
∴AD=15，
∴OD=9，
∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，-9）．
（2）∵點(diǎn)B（-4，0）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為C點(diǎn)，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)（4，0），
∴當(dāng)0＜t≤8時(shí)，S=$\frac{1}{2}$×（8-t）×6=-3t+24，
當(dāng)t＞8時(shí)，S=$\frac{1}{2}$×（t-8）×6=3t-24．
（3）①如圖1中，當(dāng)∠QPR=90°，PQ=PR時(shí)，作RH⊥OP于H，
∵∠QPO+∠RPH=90°，∠QPO+∠PQO=90°，
∴∠PQO=∠RPH，
在△PQO和△RPH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠POQ=∠PHR=90°}\\{∠PQO=∠RPH}\\{PQ=PR}\end{array}\right.$，
∴△PQO≌RPH，
∴RH=PO，
∵四邊形AOHR是矩形，
∴RH=AO=6，
∴OP=6，
∴t-4=6，
∴t=10．
②如圖2中，當(dāng)∠PQR=90°，QR=PQ時(shí)，
∵∠RQA+∠OQP=90°，∠OQP+∠OPQ=90°，
∴∠RQA=∠OPQ，
在△ARQ和△OQP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠RAQ=∠POQ}\\{∠RQA=∠OPQ}\\{QR=PQ}\end{array}\right.$，
∴△ARQ≌△OQP，
∴OP=AQ，
∴t-4=2t-15，
∴t=11．
③如圖3中，當(dāng)∠QRP=90°，QR=PR，
∵∠RQA+∠PRH=90°，∠PRH+∠RPH=90°，
∴∠QRA=∠RPH，
在△AQR和△HRP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠QRA=∠RPH}\\{∠QAR=∠RHP}\\{QR=PR}\end{array}\right.$，
∴△AQR≌△HRP，
∴AQ=RH，AR=PH=AO=6，
∴OP=AH=RH-AR=AQ-AR=AQ-6
∴t-4=2t-15-6，
∴t=17．
綜上所述t=10秒或11秒或17秒時(shí)，△PQR是等腰直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形綜合題、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確畫出圖形，利用全等三角形性質(zhì)解決問題，學(xué)會(huì)分類討論，用方程的思想去思考問題，屬于中考?jí)狠S題．