Question

如圖，已知三角形ABC的底BC=1cm，面積為1cm²，A₁，B₁分別為AB，AC的中點(diǎn)，A₂，B₂分別為A₁B，B₁C的中點(diǎn)，以此類推：A₄B₄=

 

，S_△AA4B4=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),三角形中位線定理,梯形中位線定理

專題：規(guī)律型

分析：根據(jù)三角形中位線定理求出A₁B₁=

1

2

BC=

1

2

cm，再根據(jù)梯形中位線定理可求出A₄B₄的長；根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方即可求出S_△AA4B4．

解答：解：∵A₁，B₁分別為AB，AC的中點(diǎn)，
∴A₁B₁是三角形ABC的中位線，
∴A₁B₁∥BC，A₁B₁=

1

2

BC=

1

2

cm．
∵A₁B₁∥BC，A₂，B₂分別為A₁B，B₁C的中點(diǎn)，
∴A₂B₂是梯形A₁BCB₁的中位線，
∴A₂B₂∥BC，A₂B₂=

1

2

（A₁B₁+BC）=

1

2

（

1

2

+1）=

3

4

cm，
同理，A₃B₃=

1

2

（A₂B₂+BC）=

1

2

（

3

4

+1）=

7

8

cm，
A₄B₄=

1

2

（A₃B₃+BC）=

1

2

（

7

8

+1）=

15

16

cm；
∵A₄B₄∥BC，
∴△AA₄B₄∽△ABC，
∴S_△AA4B4：S_△ABC=（A₄B₄：BC）²，
即S_△AA4B4：1=（

15

16

：1）²=

225

256

，
∴S_△AA4B4=

225

256

cm²．
故答案

15

16

cm；

225

256

cm²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形中位線定理、梯形中位線定理和相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形面積比等于相似比的平方是關(guān)鍵．