Question

8．如圖，AB是⊙O的直徑，C是半圓O上的一點(diǎn)，CD切⊙O于C，AD⊥CD，垂足為D，AD交⊙O于E，若E是$\widehat{AC}$的中點(diǎn)，⊙O的半徑為1，則圖中陰影部分的面積為$\frac{\sqrt{3}}{8}$．

Answer 1

分析 連接EB，根據(jù)E為弧AC的中點(diǎn)，得到弧AE=弧EC，利用等弧對等弦得到AE=EC，可得出弓形AE與弓形EC面積相等，陰影部分面積拼接為直角三角形DEC的面積，求出即可．

解答 解：
連接EB，交OC于F，
∵E為$\widehat{AC}$的中點(diǎn)，
∴$\widehat{AE}=\widehat{EC}$，
∴AE=EC，
∴∠EAC=∠ECA，
又∵∠EAC=∠OAC，
∴∠ECA=∠OAC，
∴CE∥OA，
又∵OC∥AD，
∴四邊形AOCE是平行四邊形，
∴CE=OA，AE=OC，
又∵OA=OC=1，
∴四邊形AOCE是菱形，
∵AB為直徑，得到∠AEB=90°，
∴EB∥CD，
∵CD與⊙O相切，C為切點(diǎn)，
∴OC⊥CD，
∴OC∥AD，
∵點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，
∴OF為△ABE的中位線，
∴OF=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{2}$，即CF=DE=$\frac{1}{2}$，
在Rt△OBF中，根據(jù)勾股定理得：EF=FB=DC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
則S_陰影=S_△DEC=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{8}$．

點(diǎn)評 此題考查了切線的判定，以及平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關(guān)鍵．