Question

已知：如圖，在△ABC中，CD⊥AB于點(diǎn)D，BE⊥AC于點(diǎn)E，BE、CD交于點(diǎn)P，且BD=CE．
（1）求證：AB=AC；
（2）若連接AP并延長，請(qǐng)問AP與BC有什么樣的關(guān)系？并說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵CD⊥AB于點(diǎn)D，BE⊥AC于點(diǎn)E，
在Rt△DBC和Rt△ECB中，
，
∴Rt△DBC≌Rt△ECB（HL），
∴∠ABC=∠ACB
∴AB=AC；

（2）AP垂直平分BC．
證明：如圖，連接AP并延長與BC交于點(diǎn)F，
∵△BCD≌△CBE，
∴∠CBD=∠BCE，∠BCD=∠CBE，
∴AB=AC，BP=CP，
∴AP垂直平分BC（到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段垂直平分線上）．
分析：（1）直接證明△DBC≌△ECB即可證得結(jié)論；
（2）先證明AB=AC，BP=CP，根據(jù)到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段垂直平分線上可得AF垂直平分BC．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．