Question

拋物線y=ax² +bx+c的頂點為P，與x軸的兩個交點為M、N(點M在點N的左側(cè))，△PMN的三個內(nèi)角么∠P、∠M、∠N所對的邊分別為p、m、n，且m =n，若關于x的方程(p -m) x²+2nx+(p+m)=0有兩個相等的實數(shù)根．  
(1)試判斷△PMN的形狀；  
(2)當頂點P的坐標為（2，-1）時，求拋物線的解析式；  
(3)設拋物線與了軸的交點為Q.
求證：直線y=x-1將四邊形MPNQ分成的兩個圖形的面積相等．

Answer 1

解：(1) △=(2n)2-4(p-m)(p+m)=4n2-4p2+4m2 =0 ， ∴4p2=4n2+4m2 ，即p2=n2+m2 ， ∴△PMN 為直角三角形． 又∵m=n ， ∴△PMN 為等腰直角三角形． (2) 設拋物線的解析式為y=a·(x- 2)2-1 ， ∵△PAIN 為等腰直角三角形， ∴|MN|=2 ． 又∵M 、N 關于直線x=2 對稱，M 在N 的左側(cè)， ∴M(1 ，0) ，N(3 ，0) ， 將點M(1 ，0) 代入到函數(shù)解析式， 即0=a·(1-2)2 -1, ∴a=1 ． ∴y=(x-2)2-1=x2-4x+3 ． (3) 如右圖 ，直線QN 的解析式為y=3-x, 設直線y=3 -x 與直線y= x-1 的交點為K ，則有 ，   ∴K點坐標為(2，1)． ∵ ∴直線y=x-1將四邊形MPNQ分成的兩個圖形面積相等．