Question

14．已知O為坐標原點，點C在x軸的正半軸上，四邊形OABC是平行四邊形，且∠AOC=45°，設OA=$\sqrt{2}a$，反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點A，交BC于點D，D是BC邊的中點．

（1）如圖1，當a=4時，求k的值及邊OC的長；
（2）如圖2，連結(jié)AD、OD，若△OAD的面積是27，求a的值及點B的坐標．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)a=4，OA=$4\sqrt{2}$，∠AOC=45°得出A點坐標，故可得出k的值，DP⊥x軸于點P，由D是中點得出AD的長，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出PC的長，設OC=x可得出D點坐標，代入反比例函數(shù)的解析式即可得出OC的長；
（2）根據(jù)△OAD的面積是27，點D是中點可得出平行四邊形OABC面積是54，故可得出A點坐標，由A點坐標可知反比例函數(shù)是y=$\frac{{a}^{2}}{x}$，作DP⊥x軸于點P，可用a表示出D點坐標，代入反比例函數(shù)求出a的值，進而可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵a=4，OA=$4\sqrt{2}$，∠AOC=45°
∴A（4，4），
∴k=16．
如圖1，作DP⊥x軸于點P，
∵D是中點，
∴CD=$2\sqrt{2}$，CP=DP=2
設OC=x，則點D（x+2，2），
∵點D在反比例函數(shù)y=$\frac{16}{x}$的圖象上，
∴2（x+2）=16，解得x=6，即OC=6；

（2）∵△OAD的面積是27，點D是中點，
∴平行四邊形OABC面積是54．
∵∠AOC=45°，OA=$\sqrt{2}$a，
∴A（a，a），
∴反比例函數(shù)是y=$\frac{{a}^{2}}{x}$，
∴54=OC×a，OC=$\frac{54}{a}$．
如圖2，作DP⊥x軸于點P，
∵D是中點，PC=PD=$\frac{a}{2}$，
∴D（$\frac{54}{a}$+$\frac{a}{2}$，$\frac{a}{2}$）                             
∵點D在圖象上，
∴（$\frac{54}{a}$+$\frac{a}{2}$）•$\frac{a}{2}$=a²，解得a=±6，
∴點B（15，6）．

點評 本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點及用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出等腰直角三角形，利用勾股定理求出D點坐標是解答此題的關鍵．