Question

（2012•和平區(qū)三模）在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，將△ABC繞頂點C順時針旋轉，旋轉角為θ（0°＜θ＜180°），得到△A₁B₁C）．
（Ⅰ）如圖①，當AB∥CB₁時，旋轉角θ=

30

（度）；
（Ⅱ）如圖②，取AC的中點E，A₁B₁的中點P，連接EP，已知AC=a，當θ=

120

（度）時，EP的長度最大，最大值為

3a

2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據兩直線平行，內錯角相等可得∠BCB₁=∠ABC，然后根據對應邊BC和B₁C的夾角為旋轉角解答；
（Ⅱ）連接CP，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CP=A₁P，然后求出△A₁CP是等邊三角形，根據等邊三角形的性質可得∠A₁CP=60°，然后根據三角形的任意兩邊之和大于第三邊可得CE+CP＞EP，從而判斷出當點E、C、P三點共線時EP最大，然后根據平角等于180°進行計算即可得解．

解答：解：（Ⅰ）∵AB∥CB₁，∠ABC=30°，
∴∠BCB₁=∠ABC=30°，
∴旋轉角為∠BCB₁=30°；

（Ⅱ）∵P為A₁B₁的中點，
∴CP=A₁P，
∵∠ABC=30°，
∴∠B₁=∠B=30°，
∴∠A₁=90°-∠B₁=90°-30°=60°，
∴△A₁CP是等邊三角形，
∴∠A₁CP=60°，
根據三角形的三邊關系，CE+CP＞EP，
∴當點E、C、P三點共線時EP最大，最大為EP=CE+CP，
此時，旋轉角為180°-∠A₁CP=180°-60°=120°，
∵AC=a，點E為AC的中點，
∴EP=

1

2

a+a=

3a

2

．
故答案為：30；120，

3a

2

．

點評：本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的判定與性質，三角形的任意兩邊之和大于第三邊的性質，熟練掌握旋轉的性質，并判斷出點E、C、P三點共線時EP最大是解題的關鍵．