Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），以線段OA為邊在第四象限內(nèi)作等邊三角形AOB，點(diǎn)C為x正半軸上一動(dòng)點(diǎn)（OC＞1），連接BC，以線段BC為邊在第四象限內(nèi)作等邊△CBD，連接DA并延長(zhǎng)，交y軸于點(diǎn)E．

①△OBC與△ABD全等嗎？判斷并證明你的結(jié)論；

②當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，以A，E，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）△OBC≌△ABD．證明見解析；（2）當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0）時(shí)，以A，E，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．

【解析】

試題（1）先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得OB＝AB，CB＝DB，∠ABO＝∠DBC＝60°，則∠OBC＝∠ABD.然后可根據(jù)“SAS”可判定△OBC≌△ABD；
（2）先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)，求得∠EAC=120°，進(jìn)而得出以A，E，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，AE和AC是腰，最后根據(jù)Rt△AOE中，OA=1，∠OEA=30°，求得AC=AE=2，據(jù)此得到OC=1+2=3，即可得出點(diǎn)C的位置．

試題解析：

證明：∵△AOB，△CBD都是等邊三角形，

∴OB＝AB，CB＝DB，∠ABO＝∠DBC＝60°，

∴∠OBC＝∠ABD.

在△OBC和△ABD中，

∴△OBC≌△ABD(SAS)．

(2)∵△OBC≌△ABD，

∴∠BOC＝∠BAD＝60°.

又∵∠OAB＝60°，

∴∠OAE＝180°－60°－60°＝60°，

∴∠EAC＝120°，∠OEA＝30°，

∴以A，E，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，AE和AC是腰．

∵在Rt△AOE中，OA＝1，∠OEA＝30°，

∴AE＝2，

∴AC＝AE＝2，

∴OC＝1＋2＝3，

∴當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3，0)時(shí)，以A，E，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．