Question

【題目】如圖，BE是⊙O的直徑，點A在EB的延長線上，弦PD⊥BE，垂足為C，連接OD，∠AOD＝∠APC.

(1)求證：AP是⊙O的切線；

(2)若⊙O的半徑是4，AP＝4，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析;(2) =.

【解析】試題分析：（1）連接OP，要證AP是⊙O的切線，只需 根據(jù)條件證得∠APO=90°即可；（2）分別求出△DPO和扇形OPBD的面積，然后利用S陰影=S扇形OPBD－S△OPD計算即可．

試題解析：解：（1）證明：連接OP，則OD=OP，

∴∠OPD=∠ODP，

∴∠APC=∠AOD，

∴∠OPD+∠APC=∠ODP+∠AOD，

又∵PD⊥BE，

∴∠ODP+∠AOD=90°，

則∠OPD+∠APC=90°，

即∠APO=90°，

∴AP是⊙O的切線．

（2）解：在Rt△APO中，

∵AP=，PO=4，

∴AO=，即PO= ，

∴∠A=30°，

可知∠POA=60°，

又∵PD⊥BE，

∴∠OPC=30°且PC=CD，∠POD=120°，

∴OC=PO=2，

則,

∴PD=2PC=，

∴S陰影=S扇形OPBD－S△OPD

=

=