Question

19．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作 DE⊥AB 交BC于點(diǎn)F，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接CD，∠DCA=∠DAC，則下列結(jié)論正確的有①②④（將所有正確答案的序號(hào)都填在橫線上）
①∠DCB=∠B；②CD=$\frac{1}{2}$AB；③△ADC是等邊三角形；④若∠E=30°，則DE=EF+CF．

Answer 1

分析 由在△ABC中，∠ACB=90°，DE⊥AB，易證得∠DCA=∠DAC，繼而可得①∠DCB=∠B正確；
由①可證得AD=BD=CD，即可得②CD=$\frac{1}{2}$AB正確；
易得③△ADC是等腰三角形，但不能證得△ADC是等邊三角形；
由若∠E=30°，易求得∠FDC=∠FCD=30°，則可證得DF=CF，繼而證得DE=EF+CF．

解答 解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，DE⊥AB，
∴∠ADE=∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，∠ACD+∠DCB=90°，
∵∠DCA=∠DAC，
∴AD=CD，∠DCB=∠B；故①正確；
∴CD=BD，
∵AD=BD，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB；故②正確；
∠DCA=∠DAC，
∴AD=CD，
但不能判定△ADC是等邊三角形；故③錯(cuò)誤；
∵若∠E=30°，
∴∠A=60°，
∴△ACD是等邊三角形，
∴∠ADC=30°，
∵∠ADE=∠ACB=90°，
∴∠EDC=∠BCD=∠B=30°，
∴CF=DF，
∴DE=EF+DF=EF+CF．故④正確．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定以及直角三角形的性質(zhì)．注意證得D是AB的中點(diǎn)是解此題的關(guān)鍵．