Question

如圖，在△ABC中，∠B=45°，BC=5，高AD=4，矩形EFPQ的一邊QP在BC邊上，E、F分別在AB、AC上，AD交EF于點(diǎn)H，設(shè)EF=x，
（1）當(dāng)x為何值時(shí)，矩形EFPQ是正方形；
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，矩形EFPQ的面積最大？并求出最大面積；
（3）當(dāng)矩形EFPQ的面積最大時(shí)，該矩形EFPQ以每秒1個(gè)單位的速度沿射線DA勻速向上運(yùn)動(dòng)（當(dāng)矩形的邊PQ到達(dá)A點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)），設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，矩形EFPQ與△ABC重疊部分的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),二次函數(shù)的最值

專題：

分析：（1）由條件可得

AH

AD

=

EF

BC

，且AH=AD-HD，當(dāng)矩形EFPQ為正方形時(shí)，有HD=EF=x，代入可求得x的值；
（2）可利用

AH

AD

=

EF

BC

，用x表示出HD，表示出矩形EFPQ的面積，利用二次函數(shù)可求得其最大值；
（3）當(dāng)0≤t＜2時(shí)，設(shè)矩形EFPQ與AB、AC的交點(diǎn)分別為M、N、R、S，可利用平行表示出MN的長(zhǎng)，可表示出△EMS和△NFR的面積，進(jìn)一步可表示出重疊部分的面積；當(dāng)2≤t≤4時(shí)，重疊部分為△P′Q′A，利用平行分別用x表示出其底和高，可表示出面積．

解答：解：（1）∵四邊形EFPQ為矩形，
∴EF∥BC，
∴

AH

AD

=

EF

BC

，
當(dāng)矩形EFPQ為正方形時(shí)，HD=EF=x，
∴AH=AD-HD=4-x，且BC=5，
∴

4-x

4

=

x

5

，
解得x=

20

9

．
即當(dāng)x為

20

9

時(shí)，矩形EFPQ為正方形；
（2）由（1）可知

4-HD

4

=

x

5

，
∴HD=4-

4

5

x，
∴S_矩形EFPQ=EF•FQ=EF•HD=x（4-

4

5

x）=-

4

5

x²+4x，
該函數(shù)為開(kāi)口向下的二次函數(shù)，故當(dāng)x=

5

2

時(shí)有最大值，最大值為5，
即當(dāng)x為

5

2

時(shí)，矩形的面積有最大值5；
（3）由（2）可知，當(dāng)矩形面積取最大值時(shí)，EF=

5

2

，F(xiàn)Q=2，
①當(dāng)0≤t≤2時(shí)，如圖1，設(shè)矩形與AB、AC分別交與點(diǎn)M、N、R、S，與AD交于J、L，連接RS，交AD于K，

由題意可知LD=JK=t，則AJ=AD-LD-JL=4-t-2=2-t，
又∵RS=

5

2

，
∴R、S為AB、AC的中點(diǎn)，
∴AK=

1

2

AD=2，ES=FR=JK=t，
又∵M(jìn)N∥RS，
∴

AJ

AK

=

MN

RS

，即

2-t

2

=

MN

5 2

，
∴MN=

5

2

-

5

4

t，
∴EM+FN=EF-MN=

5

2

-（

5

2

-

5

4

t）=

5

4

t，
∴S_△EMS+S_△FNR=

1

2

ES（EM+FN）=

1

2

t•

5

4

t=

5

8

t²，
∴S=S_矩形EFPQ-（S_△EMS+S_△FNR）=5-

5

8

t²；
②當(dāng)2＜t≤4時(shí)，如圖2，設(shè)矩形與AB、AC、AD分別交于點(diǎn)Q′、P′、D′，

根據(jù)題意D′D=t，則AD′=4-t，
∵PQ∥BC，
∴

P′Q′

BC

=

AD′

AD

，即

P′Q′

5

=

4-t

4

，
解得P′Q′=5-

5

4

t，
∴S=S_△AP′Q′=

1

2

P′Q′•AD′=

1

2

（4-t）（5-

5

4

t）=

5

8

t²-5t+10；
綜上可知S=

5- 5 8 t2(0≤t≤2) 5 8 t2-5t+10(2＜t≤4)

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)及函數(shù)的性質(zhì)，在（1）和（2）中分別用x表示出矩形的面積是解題的關(guān)鍵，在（3）中確定出重疊部分的圖形是解題的關(guān)鍵．