Question

9．已知：拋物線y=x²+（2m-1）x+m²-1經(jīng)過坐標原點，且當x＜0時，y隨x的增大而減�。�
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖，設(shè)點A是該拋物線上位于x軸下方的一個動點，過點A作x軸的平行線交拋物線于另一點D．再作AB⊥x軸于點B．DC⊥x軸于點C．
①當BC=1時，直接寫出矩形ABCD的周長；
②設(shè)動點A的坐標為（a，b），將矩形ABCD的周長L表示為a的函數(shù)并寫出自變量的取值范圍，判斷周長是否存在最大值，如果存在，求出這個最大值，并求出此時點A的坐標，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意知：拋物線過（0，0），所以將（0，0）代入y=x²+（2m-1）x+m²-1即可求得m的值，再由x＜0時，y隨x的增大而減小，可知對稱軸一定在y軸的右側(cè)，進而得出m的取值范圍；
（2）①由AD∥x軸，所以A與D關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，從而得出B的橫坐標，代入拋物線解析式即可求得B的縱坐標，從而得出AB的長度；
②把A（a，b）代入y=x²-3x，所以b=a²-3a，利用對稱性可求得D的坐標為（3-a，a²-3a），所以AD=|3-2a|，然后分以下兩種情況討論：0＜a≤$\frac{3}{2}$時和$\frac{3}{2}$＜a＜3時，分別求出L與a的關(guān)系式后，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出L的最值．

解答 解：（1）把（0，0）代入y=x²+（2m-1）x+m²-1，
∴0=m²-1，
∴m=±1，
∵當x＜0時，y隨x的增大而減小，
∴對稱軸x=$-\frac{2m-1}{2}$＞0，
∴m＜$\frac{1}{2}$
∴m=-1，
∴拋物線的解析式為y=x²-3x；

（2）①∵AD∥x軸，
∴A與D關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，
∵拋物線的對稱軸為x=$\frac{3}{2}$，BC=1
∴點B的橫坐標為1，
∴把x=1代入y=x²-3x，
∴y=-2，
∴AB=2，
∴矩形ABCD的周長為：2×2+2×1=6；

（3）把A（a，b）代入y=x²-3x，
∴b=a²-3a，
∴A（a，a²-3a），
令y=0代入y=x²-3x，
∴x=0或x=3，
∴由題意知：0＜a＜3，
∴AB=3a-a²，
由①可知：A與D關(guān)于x=$\frac{3}{2}$對稱，
∴D的坐標為（3-a，a²-3a），
∴AD=|3-a-a|=|3-2a|，
當0＜a≤$\frac{3}{2}$時，
∴AD=3-2a，
∴L=2（AB+AD）=-2a²+2a+6=-2（a-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{13}{2}$，
當a=$\frac{1}{2}$時，L的最大值為$\frac{13}{2}$，
此時A的坐標為（$\frac{1}{2}$，-$\frac{5}{4}$），
當$\frac{3}{2}$＜a＜3時，
∴AD=2a-3，
∴L=2（AB+AD）=-2（a-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{13}{2}$，
當a=$\frac{5}{2}$時，L的最大值為$\frac{13}{2}$，
此時A的坐標為（$\frac{5}{2}$，-$\frac{5}{4}$），
綜上所述，當A的坐標為（$\frac{1}{2}$，-$\frac{5}{4}$）或（$\frac{5}{2}$，-$\frac{5}{4}$），L的最大值為$\frac{13}{2}$．

點評 本題考查二次函數(shù)的綜合問題，涉及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值等知識，內(nèi)容較為綜合，需要學生充分理解二次函數(shù)的性質(zhì)才能進行解答．